Вокруг равностороннего треугольника, длина стороны которого равна $$41\sqrt{3}$$, описана окружность. Найди её радиус.

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной $$a$$, описанный вокруг окружности радиуса $$R$$. Центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан (и высот, и биссектрис) этого треугольника. Медиана в равностороннем треугольнике является и высотой, и биссектрисой.

Известно, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, радиус описанной окружности $$R$$ составляет $$\frac{2}{3}$$ от высоты $$h$$ треугольника.

Высоту $$h$$ равностороннего треугольника можно выразить через его сторону $$a$$:

$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Тогда радиус описанной окружности:

$$R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$

В нашем случае, сторона треугольника $$a = 41\sqrt{3}$$. Подставим это значение в формулу для радиуса:

$$R = \frac{41\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{41 \cdot 3}{3} = 41$$