3. Внутри треугольника АВС взята точка О, причем ∠BOC = ∠BOA, AO = OC. а) Докажите, что углы ВАС и ВСА равны. б) Докажите, что прямая ВО проходит через середину отрезка АС.

а) Докажем, что углы ВАС и ВСА равны. Рассмотрим треугольники AOB и COB. У них: 1. AO = OC (по условию). 2. BO - общая сторона. 3. ∠BOA = ∠BOC (по условию). Следовательно, треугольники AOB и COB равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что AB = BC, а также ∠BAO = ∠BCO. Поскольку углы ВАС и ВСА составлены из углов BAO и BCO соответственно, то ∠BAC = ∠BCA. б) Докажем, что прямая ВО проходит через середину отрезка АС. Ранее мы доказали, что треугольники AOB и COB равны. Значит, углы ABO и CBO также равны. Таким образом, BO является биссектрисой угла ABC. Поскольку в треугольнике ABC стороны AB и BC равны (так как ∠BAC = ∠BCA), то треугольник ABC равнобедренный. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, BO является медианой, и, значит, BO проходит через середину отрезка AC.