1 вариант. 1. Упростите выражение: a) $$6\sqrt{3}+\sqrt{27}-3\sqrt{75}$$; б) $$(\sqrt{50}-2\sqrt{2})\sqrt{2}$$; в) $$(2-\sqrt{3})^2$$ 2. Сравните: $$\frac{1}{2}\sqrt{12}$$ и $$\frac{1}{3}\sqrt{45}$$. 3. Сократите дробь: а) $$\frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{5}-\sqrt{15}}$$; б) $$\frac{a-2\sqrt{a}}{3\sqrt{a}-6}$$. 4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: a) $$\frac{5}{3\sqrt{10}}$$; б) $$\frac{8}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$$.

1. Упростите выражение: a) $$6\sqrt{3}+\sqrt{27}-3\sqrt{75}$$; $$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$$ $$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$$ $$6\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3 \cdot 5\sqrt{3} = 9\sqrt{3} - 15\sqrt{3} = -6\sqrt{3}$$ Ответ: $$-6\sqrt{3}$$ б) $$(\sqrt{50}-2\sqrt{2})\sqrt{2}$$; $$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$$ $$(5\sqrt{2} - 2\sqrt{2})\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6$$ Ответ: $$6$$ в) $$(2-\sqrt{3})^2$$ $$(2-\sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$$ Ответ: $$7 - 4\sqrt{3}$$ 2. Сравните: $$\frac{1}{2}\sqrt{12}$$ и $$\frac{1}{3}\sqrt{45}$$. $$\frac{1}{2}\sqrt{12} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 3} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$$ $$\frac{1}{3}\sqrt{45} = \frac{1}{3}\sqrt{9 \cdot 5} = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{5} = \sqrt{5}$$ Так как $$\sqrt{3} < \sqrt{5}$$, то $$\frac{1}{2}\sqrt{12} < \frac{1}{3}\sqrt{45}$$. Ответ: $$\frac{1}{2}\sqrt{12} < \frac{1}{3}\sqrt{45}$$ 3. Сократите дробь: a) $$\frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{5}-\sqrt{15}}$$; $$\frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{5}-\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{3}(1-\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{\sqrt{5}(1-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}(1-\sqrt{3})}{\sqrt{5}(1-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{-\sqrt{5}} = -\sqrt{\frac{3}{5}} = -\frac{\sqrt{15}}{5}$$ Ответ: $$-\frac{\sqrt{15}}{5}$$ б) $$\frac{a-2\sqrt{a}}{3\sqrt{a}-6}$$. $$\frac{a-2\sqrt{a}}{3\sqrt{a}-6} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-2)}{3(\sqrt{a}-2)} = \frac{\sqrt{a}}{3}$$ Ответ: $$\frac{\sqrt{a}}{3}$$ 4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: a) $$\frac{5}{3\sqrt{10}}$$; $$\frac{5}{3\sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{3\sqrt{10}\sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{3 \cdot 10} = \frac{\sqrt{10}}{6}$$ Ответ: $$\frac{\sqrt{10}}{6}$$ б) $$\frac{8}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$$. $$\frac{8}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{8(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{8(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{8(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 2(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{6} - 2\sqrt{2}$$ Ответ: $$2\sqrt{6} - 2\sqrt{2}$$