1 вариант. 1. Упростите выражение: a)6√3+√27-3√75; 6)(√50-2√2)√2; в) (2-√3)^2 2. Сравните: 1/2 √12 и 1/3 √45. 3. Сократите дробь: а) (√3-3)/(√5-√15); б) (a-2√a)/(3√a-6) 4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: а) 5/(3√10); б) 8/(√6+√2)

1. Упростите выражение: a) $$6\sqrt{3}+\sqrt{27}-3\sqrt{75}$$

Преобразуем корни:

$$\sqrt{27} = \sqrt{9\cdot 3} = 3\sqrt{3}$$ $$\sqrt{75} = \sqrt{25\cdot 3} = 5\sqrt{3}$$

Подставим в исходное выражение:

$$6\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3\cdot 5\sqrt{3} = 6\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 15\sqrt{3} = (6+3-15)\sqrt{3} = -6\sqrt{3}$$ б) $$(\sqrt{50}-2\sqrt{2})\sqrt{2}$$

Преобразуем корень:

$$\sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = 5\sqrt{2}$$

Подставим в исходное выражение:

$$(5\sqrt{2} - 2\sqrt{2})\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6$$ в) $$(2-\sqrt{3})^2$$

Воспользуемся формулой квадрата разности: $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

$$(2-\sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$$ 2. Сравните: $$\frac{1}{2}\sqrt{12}$$ и $$\frac{1}{3}\sqrt{45}$$

Преобразуем корни:

$$\sqrt{12} = \sqrt{4\cdot 3} = 2\sqrt{3}$$ $$\sqrt{45} = \sqrt{9\cdot 5} = 3\sqrt{5}$$

Подставим в исходные выражения:

$$\frac{1}{2}\sqrt{12} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$$ $$\frac{1}{3}\sqrt{45} = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{5} = \sqrt{5}$$

Сравним $$\sqrt{3}$$ и $$\sqrt{5}$$. Так как 3 < 5, то $$\sqrt{3} < \sqrt{5}$$.

Таким образом, $$\frac{1}{2}\sqrt{12} < \frac{1}{3}\sqrt{45}$$

3. Сократите дробь:

a) $$\frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{5}-\sqrt{15}}$$

Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:

$$\frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{5}-\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{3}(1-\sqrt{3})}{\sqrt{5}(1-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$$ б) $$\frac{a-2\sqrt{a}}{3\sqrt{a}-6}$$

Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:

$$\frac{a-2\sqrt{a}}{3\sqrt{a}-6} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-2)}{3(\sqrt{a}-2)} = \frac{\sqrt{a}}{3}$$ 4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

a) $$\frac{5}{3\sqrt{10}}$$

Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{10}$$:

$$\frac{5}{3\sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{3\sqrt{10}\sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{3\cdot 10} = \frac{5\sqrt{10}}{30} = \frac{\sqrt{10}}{6}$$ б) $$\frac{8}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $$\sqrt{6}-\sqrt{2}$$:

$$\frac{8}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{8(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{8(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{8(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = 2(\sqrt{6}-\sqrt{2})$$