Вариант IV. 1. В треугольнике АВС известно, что АВ = 15, BC = 8, $$sin \angle ABC = \frac{5}{6}$$. Найдите площадь треугольника АВС. 2. B треугольнике АВС угол А равен 60°, угол В равен 45°, ВС = $$5\sqrt{6}$$. Найдите АС. 3. B АВ треугольнике АВС угол С равен 45°, АВ = $$8\sqrt{2}$$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. 4. В треугольнике две стороны равны 5 см и 21 см, а угол между ними - 60°. Найдите третью сторону треугольника. 5. Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 64° и 86°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 13.

Решим задачи по геометрии: 1. Площадь треугольника АВС можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot sin(\angle ABC)$$. Подставим известные значения: $$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 \cdot \frac{5}{6} = \frac{15 \cdot 8 \cdot 5}{2 \cdot 6} = \frac{600}{12} = 50$$. Площадь треугольника АВС равна 50. 2. Для нахождения стороны AC воспользуемся теоремой синусов: $$\frac{AC}{sin(\angle B)} = \frac{BC}{sin(\angle A)}$$. Известно, что $$\angle A = 60^\circ, \angle B = 45^\circ, BC = 5\sqrt{6}$$. Тогда: $$AC = \frac{BC \cdot sin(\angle B)}{sin(\angle A)} = \frac{5\sqrt{6} \cdot sin(45^\circ)}{sin(60^\circ)} = \frac{5\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{\frac{12}{3}} = 5\sqrt{4} = 5 \cdot 2 = 10$$. Следовательно, AC = 10. 3. Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника АВС, воспользуемся теоремой синусов: $$\frac{AB}{sin(\angle C)} = 2R$$, где R - радиус окружности. Известно, что $$\angle C = 45^\circ, AB = 8\sqrt{2}$$. Тогда: $$2R = \frac{8\sqrt{2}}{sin(45^\circ)} = \frac{8\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 16$$. Следовательно, R = $$\frac{16}{2} = 8$$. Радиус окружности равен 8. 4. Для нахождения третьей стороны треугольника воспользуемся теоремой косинусов: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)$$, где a = 5 см, b = 21 см, а угол между ними $$\gamma = 60^\circ$$. Тогда: $$c^2 = 5^2 + 21^2 - 2 \cdot 5 \cdot 21 \cdot cos(60^\circ) = 25 + 441 - 2 \cdot 5 \cdot 21 \cdot \frac{1}{2} = 466 - 105 = 361$$. Следовательно, c = $$\sqrt{361} = 19$$. Третья сторона треугольника равна 19 см. 5. Для нахождения стороны BC воспользуемся теоремой синусов: $$\frac{BC}{sin(\angle A)} = 2R$$. Сначала найдем угол A: $$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 64^\circ - 86^\circ = 30^\circ$$. Теперь можем найти BC: $$BC = 2R \cdot sin(\angle A) = 2 \cdot 13 \cdot sin(30^\circ) = 2 \cdot 13 \cdot \frac{1}{2} = 13$$. Следовательно, BC = 13.