Вариант 1 1. Выполните сложение: a) $$2\frac{1}{5}+3\frac{2}{3}$$; б) $$4\frac{2}{3}+5\frac{4}{7}$$. 2. Выполните вычитание: a) $$2-\frac{1}{3}$$; б) $$3\frac{6}{7}-2\frac{8}{9}$$. 2. Решите уравнение: $$x+3\frac{2}{5}=14\frac{1}{6}$$. 3. В одном мешке $$3\frac{7}{9}$$ кг яблок, в другом на $$\frac{2}{3}$$ кг меньше, чем в первом. Сколько килограммов яблок в обоих мешках?

1. Выполните сложение:

a) $$2\frac{1}{5}+3\frac{2}{3}$$

Сначала переведем смешанные дроби в неправильные:

$$2\frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{10+1}{5} = \frac{11}{5}$$

$$3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{9+2}{3} = \frac{11}{3}$$

Теперь сложим неправильные дроби:

$$\frac{11}{5} + \frac{11}{3} = \frac{11 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{11 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{33}{15} + \frac{55}{15} = \frac{33+55}{15} = \frac{88}{15}$$

Переведем неправильную дробь в смешанную:

$$\frac{88}{15} = 5\frac{13}{15}$$

Ответ: $$5\frac{13}{15}$$

б) $$4\frac{2}{3}+5\frac{4}{7}$$

Сначала переведем смешанные дроби в неправильные:

$$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{12+2}{3} = \frac{14}{3}$$

$$5\frac{4}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{35+4}{7} = \frac{39}{7}$$

Теперь сложим неправильные дроби:

$$\frac{14}{3} + \frac{39}{7} = \frac{14 \cdot 7}{3 \cdot 7} + \frac{39 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{98}{21} + \frac{117}{21} = \frac{98+117}{21} = \frac{215}{21}$$

Переведем неправильную дробь в смешанную:

$$\frac{215}{21} = 10\frac{5}{21}$$

Ответ: $$10\frac{5}{21}$$

2. Выполните вычитание:

a) $$2-\frac{1}{3}$$

Представим 2 как дробь со знаменателем 3:

$$2 = \frac{2 \cdot 3}{3} = \frac{6}{3}$$

Теперь выполним вычитание:

$$\frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{6-1}{3} = \frac{5}{3}$$

Переведем неправильную дробь в смешанную:

$$\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$$

Ответ: $$1\frac{2}{3}$$

б) $$3\frac{6}{7}-2\frac{8}{9}$$

Сначала переведем смешанные дроби в неправильные:

$$3\frac{6}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{21+6}{7} = \frac{27}{7}$$

$$2\frac{8}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{18+8}{9} = \frac{26}{9}$$

Теперь выполним вычитание:

$$\frac{27}{7} - \frac{26}{9} = \frac{27 \cdot 9}{7 \cdot 9} - \frac{26 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{243}{63} - \frac{182}{63} = \frac{243-182}{63} = \frac{61}{63}$$

Ответ: $$\frac{61}{63}$$

2. Решите уравнение: $$x+3\frac{2}{5}=14\frac{1}{6}$$

Выразим x:

$$x = 14\frac{1}{6} - 3\frac{2}{5}$$

Переведем смешанные дроби в неправильные:

$$14\frac{1}{6} = \frac{14 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{84+1}{6} = \frac{85}{6}$$

$$3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{15+2}{5} = \frac{17}{5}$$

Теперь выполним вычитание:

$$x = \frac{85}{6} - \frac{17}{5} = \frac{85 \cdot 5}{6 \cdot 5} - \frac{17 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{425}{30} - \frac{102}{30} = \frac{425-102}{30} = \frac{323}{30}$$

Переведем неправильную дробь в смешанную:

$$x = \frac{323}{30} = 10\frac{23}{30}$$

Ответ: $$x = 10\frac{23}{30}$$

3. В одном мешке $$3\frac{7}{9}$$ кг яблок, в другом на $$\frac{2}{3}$$ кг меньше, чем в первом. Сколько килограммов яблок в обоих мешках?

Сначала найдем, сколько килограммов яблок во втором мешке:

$$3\frac{7}{9} - \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 9 + 7}{9} - \frac{2}{3} = \frac{27+7}{9} - \frac{2}{3} = \frac{34}{9} - \frac{2}{3}$$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{34}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{34}{9} - \frac{6}{9} = \frac{34-6}{9} = \frac{28}{9}$$

Во втором мешке $$\frac{28}{9}$$ кг яблок.

Теперь найдем, сколько килограммов яблок в обоих мешках:

$$3\frac{7}{9} + \frac{28}{9} = \frac{34}{9} + \frac{28}{9} = \frac{34+28}{9} = \frac{62}{9}$$

Переведем неправильную дробь в смешанную:

$$\frac{62}{9} = 6\frac{8}{9}$$

Ответ: в обоих мешках $$6\frac{8}{9}$$ кг яблок.