ВАРИАНТ 3 1. Разность катетов прямоугольного треугольника равна 2 см. Найдите длины катетов, если площадь прямоугольного треугольника равна 24 см². 2. Одна из сторон треугольника равна 10 см, высота, проведённая к ней, — 4 см. Найдите другую сторону треугольника, если проведённая к ней высота равна 5 см. 3. В параллелограмме АВСК высота ВН разбивает сторону АК на отрезки АН = 13 см, НК = 7 см, ∠A= 45°. Найдите площадь параллелограмма. ВАРИАНТ 4 1. У треугольника к сторонам длиной 9 см и 6 см проведены высоты. Высота, проведённая к большей стороне, равна 4 см. Чему равна высота, проведённая к другой стороне? 2. Площадь прямоугольного треугольника равна 120 см³. Длины его катетов относятся как 5:12. Найдите длины катетов. 3. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.

Решим задачи из вариантов 3 и 4. ВАРИАНТ 3 1. Пусть один катет равен $$x$$ см, тогда другой равен $$(x + 2)$$ см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Получаем уравнение: $${\frac{1}{2}}x(x + 2) = 24$$ $$x(x + 2) = 48$$ $$x^2 + 2x - 48 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$$ $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$ (не подходит, так как длина не может быть отрицательной). Значит, один катет равен 6 см, а другой $$6 + 2 = 8$$ см. Ответ: 6 см и 8 см. 2. Площадь треугольника можно вычислить по формуле $$S = {\frac{1}{2}}ah$$, где $$a$$ — сторона, $$h$$ — высота, проведённая к этой стороне. Пусть $$x$$ — длина другой стороны. Тогда: $${\frac{1}{2}} \cdot 10 \cdot 4 = {\frac{1}{2}} \cdot x \cdot 5$$ $$20 = {\frac{5}{2}}x$$ $$x = {\frac{20 \cdot 2}{5}} = 8$$ Ответ: 8 см. 3. В параллелограмме $$ABCD$$ высота $$BH$$ разбивает сторону $$AK$$ на отрезки $$AH = 13$$ см, $$HK = 7$$ см. Следовательно, $$AK = AH + HK = 13 + 7 = 20$$ см. Так как $$ABCD$$ параллелограмм, то $$BC = AK = 20$$ см. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне. В прямоугольном треугольнике $$ABH$$: $$\sin A = {\frac{BH}{AB}}$$ $$BH = AB \cdot \sin A = AB \cdot \sin 45 \deg = AB \cdot {\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ Площадь параллелограмма $$S = BC \cdot BH = 20 \cdot AB \cdot {\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10 \sqrt{2} AB$$. Но у нас недостаточно данных, чтобы найти $$AB$$, а следовательно, и площадь параллелограмма. ВАРИАНТ 4 1. Площадь треугольника не зависит от того, какую сторону и высоту мы выбираем для её вычисления. Если к стороне длиной 9 см проведена высота 4 см, то площадь равна $${\frac{1}{2}} \cdot 9 \cdot 4 = 18$$ см². Если к стороне длиной 6 см проведена высота $$h$$, то $${\frac{1}{2}} \cdot 6 \cdot h = 18$$, откуда $$h = {\frac{18 \cdot 2}{6}} = 6$$ см. Ответ: 6 см. 2. Пусть катеты равны $$5x$$ и $$12x$$. Тогда площадь прямоугольного треугольника равна $${\frac{1}{2}} \cdot 5x \cdot 12x = 30x^2$$. По условию, площадь равна 120 см², следовательно, $$30x^2 = 120$$, $$x^2 = 4$$, $$x = 2$$. Тогда катеты равны $$5 \cdot 2 = 10$$ см и $$12 \cdot 2 = 24$$ см. Ответ: 10 см и 24 см. 3. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Поэтому, если диагонали ромба равны 10 см и 24 см, то его площадь равна $${\frac{1}{2}} \cdot 10 \cdot 24 = 120$$ см². Ответ: 120 см².