Вариант 4 1 Расположите числа в порядке убывания: $$-1\frac{2}{9}; -1,2; 1,83; 1\frac{5}{6}; -1,3.$$ 2 Найдите абсолютную погрешность приближённого значения, полученного в результате округления числа 2,361 до десятых. 3 Для приготовления вишнёвого варенья на 1 кг вишни нужно 1,5 кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 27 кг вишни? 4 Представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число: a) $$\frac{3}{16}$$; б) $$5\frac{6}{11}$$. 5 Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 2400 р. До установки счётчиков за воду платили 1800 р. ежемесячно. После установки счётчиков ежемесячная оплата воды стала составлять 1300 р. Через какое наименьшее количество месяцев экономия по оплате воды превысит затраты на установку счётчиков, если тарифы на воду не изменятся? 6 Решить систему: $$\begin{cases}8x-7y=21\\5x-3y = 20\end{cases}$$ 7 Упростите выражение: $$\frac{1}{a-2} - \frac{4a}{a^2-4} \cdot (\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a^2-a})$$

1. Расположите числа в порядке убывания:

Сначала переведём дроби в десятичные числа для удобства сравнения:

• $$-1\frac{2}{9} = -1,(2) \approx -1,22$$
• $$1\frac{5}{6} = 1 + \frac{5}{6} = 1 + 0,8(3) \approx 1,83$$

Теперь расположим числа в порядке убывания:

$$1,83; 1\frac{5}{6}; -1,2; -1\frac{2}{9}; -1,3$$
2. Найдите абсолютную погрешность приближённого значения, полученного в результате округления числа 2,361 до десятых.

Округлим число 2,361 до десятых: 2,4.

Абсолютная погрешность равна модулю разности между точным значением и приближённым значением:

$$|2,361 - 2,4| = |-0,039| = 0,039$$

Ответ: 0,039.

3. Для приготовления вишнёвого варенья на 1 кг вишни нужно 1,5 кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 27 кг вишни?

На 27 кг вишни нужно:

$$27 \cdot 1,5 = 40,5 \text{ кг сахара}$$

Так как сахар продаётся килограммовыми упаковками, нужно купить 41 упаковку.

Ответ: 41.

4. Представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число:

a) $$\frac{3}{16}$$

$$\frac{3}{16} = 0,1875$$

Так как деление закончилось, то это не периодическая дробь, а конечная десятичная дробь.

б) $$5\frac{6}{11}$$

$$5\frac{6}{11} = 5 + \frac{6}{11} = 5 + 0,(54) = 5,(54)$$

Ответ: 5,(54).

5. Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 2400 р. До установки счётчиков за воду платили 1800 р. ежемесячно. После установки счётчиков ежемесячная оплата воды стала составлять 1300 р. Через какое наименьшее количество месяцев экономия по оплате воды превысит затраты на установку счётчиков, если тарифы на воду не изменятся?

Ежемесячная экономия составляет:

$$1800 - 1300 = 500 \text{ рублей}$$

Чтобы узнать, через сколько месяцев экономия превысит затраты на установку счётчиков, нужно:

$$2400 \div 500 = 4,8$$

Так как нужно наименьшее количество месяцев, то потребуется 5 месяцев.

Ответ: 5.

6. Решить систему: $$\begin{cases}8x-7y=21\\5x-3y = 20\end{cases}$$

Решим систему методом подстановки. Выразим x из второго уравнения:

$$5x = 3y + 20$$ $$x = \frac{3y + 20}{5}$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$8(\frac{3y + 20}{5}) - 7y = 21$$ $$\frac{24y + 160}{5} - 7y = 21$$

Умножим обе части уравнения на 5:

$$24y + 160 - 35y = 105$$ $$-11y = -55$$ $$y = 5$$

Теперь найдём x:

$$x = \frac{3(5) + 20}{5} = \frac{15 + 20}{5} = \frac{35}{5} = 7$$

Ответ: x = 7, y = 5.

7. Упростите выражение: $$\frac{1}{a-2} - \frac{4a}{a^2-4} \cdot (\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a^2-a})$$

Сначала упростим выражение в скобках:

$$\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a^2-a} = \frac{1}{a-1} - \frac{1}{a(a-1)} = \frac{a - 1}{a(a-1)} = \frac{1}{a}$$

Теперь упростим второе слагаемое:

$$\frac{4a}{a^2-4} \cdot \frac{1}{a} = \frac{4a}{(a-2)(a+2)} \cdot \frac{1}{a} = \frac{4}{(a-2)(a+2)}$$

Теперь упростим все выражение:

$$\frac{1}{a-2} - \frac{4}{(a-2)(a+2)} = \frac{a+2 - 4}{(a-2)(a+2)} = \frac{a-2}{(a-2)(a+2)} = \frac{1}{a+2}$$

Ответ: $$\frac{1}{a+2}$$