Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
В4. В четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма углов M и N равна В5. На рисунке $$BD$$ – биссектриса $$\angle ABC$$, $$KL \perp AB, KM \perp BC, KL = 4$$ см. Тогда $$KM$$ = В6. На рисунке $$\angle AOB = 60\degree$$, $$AO = 6$$ см. Тогда $$AB$$ = В7. Треугольник с углом C, равным $$90\degree$$, вписан в окружность, при этом $$AC = 8$$ см, $$BC = 6$$ см. Тогда радиус окружности равен В8. На рисунке $$DB = 4$$ см, $$AB = BC = 6$$ см. Тогда длина отрезка $$BE$$ будет равна В9. Из точки $$K$$ проведены касательные $$KM$$ и $$KN$$ к окружности с центром в точке $$O$$, $$\angle MON = 120\degree$$, $$OK = 12$$ см. Тогда $$KM$$ = В10. В равносторонний треугольник вписана окружность радиуса 3 см. Затем вокруг этого же треугольника описана окружность. Тогда радиус этой окружности равен С1. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 15 см, а высота, опущенная на основание, равна 12 см. Найдите радиус описанной около треугольника окружности.
Ответ:
- В4. В четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна $$180\degree$$. Значит, $$\angle M + \angle N = 180\degree$$.
- В5. Т.к. $$BD$$ - биссектриса $$\angle ABC$$, $$KL \perp AB, KM \perp BC$$ и $$KL = 4$$ см, то $$KM = KL = 4$$ см.
- В6. Т.к. $$\angle AOB = 60\degree$$ и $$AO = BO$$ (как радиусы), то $$\triangle AOB$$ - равносторонний, следовательно, $$AB = AO = 6$$ см.
- В7. Т.к. $$\triangle ABC$$ - прямоугольный, то центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы $$AB$$. Найдем $$AB$$ по теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$ см. Радиус окружности равен половине гипотенузы: $$R = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ см.
- В8. Рассмотрим $$\triangle ABC$$, $$AB = BC = 6$$ см, значит, $$\triangle ABC$$ - равнобедренный. $$BD$$ - медиана (т.к. $$AD = DC$$) и высота, т.е. $$\angle BDA = 90\degree$$. $$DB = 4$$ см. По теореме Пифагора для $$\triangle BDA$$: $$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$. Значит, $$AC = 2 \cdot AD = 4\sqrt{5}$$. Рассмотрим $$\triangle DBE$$ и $$\triangle ABC$$. У них $$\angle B$$ - общий, значит, $$\triangle DBE \sim \triangle ABC$$ (по двум углам). Тогда $$\frac{BD}{BC} = \frac{BE}{BA}$$, т.е. $$\frac{4}{6} = \frac{BE}{6}$$, следовательно, $$BE = \frac{4 \cdot 6}{6} = 4$$ см.
- В9. $$KM$$ и $$KN$$ - касательные к окружности, значит, $$\angle KMO = \angle KNO = 90\degree$$. Т.к. $$\angle MON = 120\degree$$, то $$\angle MOK = \angle NOK = \frac{1}{2} \angle MON = \frac{1}{2} \cdot 120\degree = 60\degree$$. В $$\triangle MOK$$: $$\angle KMO = 90\degree$$, $$\angle MOK = 60\degree$$, $$OK = 12$$ см. $$KM = OK \cdot \sin \angle MOK = 12 \cdot \sin 60\degree = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$$ см.
- В10. Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника в два раза больше радиуса вписанной окружности. Следовательно, радиус описанной окружности равен $$2 \cdot 3 = 6$$ см.
- С1. Пусть $$\triangle ABC$$ - равнобедренный, $$AB = BC = 15$$ см, $$BD$$ - высота, опущенная на основание $$AC$$, $$BD = 12$$ см. Т.к. $$\triangle ABC$$ - равнобедренный, то высота $$BD$$ также является медианой, т.е. $$AD = DC$$. Рассмотрим $$\triangle ABD$$ - прямоугольный. По теореме Пифагора: $$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$$ см. Значит, $$AC = 2 \cdot AD = 2 \cdot 9 = 18$$ см. Радиус описанной окружности находится по формуле $$R = \frac{abc}{4S}$$, где $$a, b, c$$ - стороны треугольника, $$S$$ - площадь треугольника. Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 12 = 108$$ см$$^2$$. Тогда $$R = \frac{15 \cdot 15 \cdot 18}{4 \cdot 108} = \frac{4050}{432} = \frac{225}{24} = \frac{75}{8} = 9,375$$ см.
