В треугольнике АВС отмечены середины М и N сторон ВС и АС соответственно. Площадь четырёхугольника АВМN равна 171. Найдите площадь треугольника CNM.

Обозначим площадь треугольника CNM за $$S_{\triangle CNM}$$.

Так как M и N — середины сторон BC и AC соответственно, то MN — средняя линия треугольника ABC.

Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия $$\frac{1}{2}$$. Значит, треугольник CNM подобен треугольнику CAB с коэффициентом подобия $$\frac{1}{2}$$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, $$\frac{S_{\triangle CNM}}{S_{\triangle CAB}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$.

Отсюда $$S_{\triangle CAB} = 4S_{\triangle CNM}$$.

Площадь четырёхугольника ABMN равна разности площадей треугольников CAB и CNM:

$$S_{ABMN} = S_{\triangle CAB} - S_{\triangle CNM} = 171$$

Подставим выражение для площади треугольника CAB:

$$4S_{\triangle CNM} - S_{\triangle CNM} = 171$$

$$3S_{\triangle CNM} = 171$$

$$S_{\triangle CNM} = \frac{171}{3} = 57$$

Ответ: площадь треугольника CNM равна 57.