103 В треугольниках АВС И A1B1C1 AB = A₁B1, AC = A1C1, ∠A = ∠A₁. На сторонах АВ и А,В, отмечены точки Р и Р₁ так, что АР = А₁Р1. Докажите, что ДВРС = ∆B1P1C1.

Для доказательства равенства треугольников BPC и B1P1C1, рассмотрим следующие шаги:

1. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1. Нам дано, что AB = A1B1, AC = A1C1 и ∠A = ∠A1. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники ABC и A1B1C1 равны: $$ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $$.

Из равенства треугольников ABC и A1B1C1 следует равенство соответствующих сторон и углов, в частности BC = B1C1 и ∠B = ∠B1.

2. Рассмотрим стороны AB и A1B1, на которых отмечены точки P и P1 соответственно, такие что AP = A1P1. Из условия AB = A1B1 следует, что PB = AB - AP = A1B1 - A1P1 = P1B1.

3. Теперь рассмотрим треугольники BPC и B1P1C1. У нас есть:

• PB = P1B1 (доказано выше)
• BC = B1C1 (из равенства треугольников ABC и A1B1C1)
• ∠B = ∠B1 (из равенства треугольников ABC и A1B1C1)

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники BPC и B1P1C1 равны: $$ \triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1 $$.

Что и требовалось доказать.