В соревнованиях участвовали 165 мальчиков и 220 девочек. И мальчиков, и девочек разбили на группы с одинаковым количеством мальчиков и одинаковым количеством девочек в группах. Какое наибольшее количество групп могло получиться?

Чтобы найти наибольшее количество групп, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 165 и 220.

1. Разложим число 165 на простые множители: $$165 = 3 \cdot 5 \cdot 11$$.
2. Разложим число 220 на простые множители: $$220 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11 = 2^2 \cdot 5 \cdot 11$$.
3. Найдем общие простые множители чисел 165 и 220: 5 и 11.
4. Вычислим НОД(165, 220), перемножив общие простые множители: $$НОД(165, 220) = 5 \cdot 11 = 55$$.

Таким образом, наибольшее количество групп, которое могло получиться, равно 55.

Проверим:

• Количество мальчиков в одной группе: $$165 / 55 = 3$$.
• Количество девочек в одной группе: $$220 / 55 = 4$$.

В каждой группе будет 3 мальчика и 4 девочки.

Ответ: 55