1. В остроугольном треугольнике АВС высота АН равна $$20\sqrt{3}$$, а сторона АВ равна 40. Найдите cos В. 2. В треугольнике АВС АВ = ВС, а высота АН делит сторону ВС на отрезки ВН = 64 и СН = 16. Найдите cosB. 3. В треугольнике АВС ВМ – медиана и BH – высота. Известно, что АС = 216, НС = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол АМВ. Ответ дайте в градусах.

1. Рассмотрим остроугольный треугольник ABC с высотой AH. * AH = $$20\sqrt{3}$$ * AB = 40 Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем: $$cosB = \frac{BH}{AB}$$ Нужно найти BH. По теореме Пифагора: $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$ $$BH^2 = AB^2 - AH^2$$ $$BH^2 = 40^2 - (20\sqrt{3})^2 = 1600 - 400 \cdot 3 = 1600 - 1200 = 400$$ $$BH = \sqrt{400} = 20$$ Тогда $$cosB = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} = 0.5$$ 2. В треугольнике ABC, AB = BC, значит, треугольник ABC равнобедренный. AH - высота, следовательно, она же и медиана. Тогда BH = CH. По условию BH = 64, CH = 16, что противоречит условию AB = BC. Скорее всего, в условии опечатка. Если бы было указано, что высота проведена к стороне AC, тогда решение выглядело бы следующим образом: $$AC = AH^2 + HC^2$$ $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$ $$cosB = \frac{BH}{AB}$$ Т.к. недостаточно данных, решить задачу невозможно. 3. Дано: * AC = 216 * HC = 54 * ∠ACB = 40° Найти: ∠AMB Решение: Т.к. ВН - высота, то треугольник BHC - прямоугольный. Следовательно, ∠HBC = 90° - ∠HCB = 90° - 40° = 50°. Т.к. ВМ - медиана, то AM = MC = AC/2 = 216/2 = 108. Тогда AH = AM - HC = 108 - 54 = 54. Следовательно, AH = HC, а значит, треугольник BHA = BHC (по двум катетам). Тогда ∠HBA = ∠HBC = 50°. ∠ABC = ∠HBA + ∠HBC = 50° + 50° = 100°. ∠BAC = ∠BCA = (180° - ∠ABC) / 2 = (180° - 100°) / 2 = 80° / 2 = 40°. Рассмотрим треугольник ABM. В нем ∠BAM = 40°, AM = 108. По теореме синусов: $$\frac{AM}{sin∠ABM} = \frac{BM}{sin∠BAM}$$ Но нам неизвестна длина ВМ. Условие недостаточное для решения задачи.