25. В остроугольном треугольнике \(ABC\) есть высота \(AH\) и биссектриса \(BM\). Точка пересечения биссектрисы \(BM\) и высоты \(AH\) делит высоту в соотношении \(5:3\), считая от точки \(A\). Определи значение радиуса окружности, описанной около данного треугольника, если \(AC = 24\).

Здравствуйте, ученики! Давайте решим эту задачу вместе. Нам дан остроугольный треугольник \(ABC\), высота \(AH\) и биссектриса \(BM\). Точка пересечения \(BM\) и \(AH\) делит высоту \(AH\) в отношении \(5:3\), считая от вершины \(A\). Нужно найти радиус описанной окружности около треугольника \(ABC\), если \(AC = 24\). **Решение:** 1. **Обозначения и анализ:** Пусть точка пересечения \(BM\) и \(AH\) будет \(P\). Тогда \(AP:PH = 5:3\). Обозначим \(AP = 5x\) и \(PH = 3x\). Следовательно, \(AH = AP + PH = 5x + 3x = 8x\). 2. **Использование свойств углов и биссектрисы:** Так как \(BM\) – биссектриса угла \(B\), то \(\angle ABM = \angle CBM\). Обозначим эти углы как \(\beta\). Поскольку \(AH\) – высота, то \(\angle AHB = 90^\circ\). В треугольнике \(ABP\): \(\angle BAP = 90^\circ - \beta\). 3. **Нахождение угла \(C\):** В треугольнике \(ABC\): \(\angle BAC = 90^\circ - \beta\). Значит, \(\angle C = 90^\circ - (90^\circ - \beta) - \beta = 90^\circ - 90^\circ + 2\beta = 2\beta\). 4. **Соотношение в треугольнике \(BHC\):** В треугольнике \(BHC\): \(\angle HBC = \beta\), и \(\angle BHC = 90^\circ\), следовательно, \(\angle C = 90^\circ - \beta\). Из пунктов 3 и 4 следует, что \(2\beta = 90^\circ - \beta\) => \(3\beta = 90^\circ\) => \(\beta = 30^\circ\). Таким образом, \(\angle ABC = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\), и \(\angle C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). 5. **Тип треугольника:** Так как \(\angle ABC = 60^\circ\), то \(\angle BAC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). Следовательно, \(\angle BCA = 60^\circ\) и треугольник \(ABC\) – равносторонний. 6. **Радиус описанной окружности:** Для равностороннего треугольника со стороной \(a\) радиус описанной окружности \(R\) вычисляется по формуле: \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\). В нашем случае \(AC = a = 24\), тогда \(R = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}\). **Ответ:** Радиус описанной окружности равен \(8\sqrt{3}\). **Итоговый ответ:** \(8\sqrt{3}\) Надеюсь, это объяснение поможет вам понять решение задачи.