6. Упростите и найдите значение выражения: a) \(\sqrt{a^2 + 10ab + 25b^2}\) при \(a=14\frac{6}{13}\) и \(b=\frac{4}{13}\); б) \(\sqrt{a^2 - 4ab + 4b^2}\) при a=3 и b=4; в) \((\sqrt{17} +2)^2 - 4\sqrt{17}\); г) \((\sqrt{27}+\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}\); д) \((\sqrt{19}-\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{19}+\sqrt{2})\).

a) Упростим выражение \(\sqrt{a^2 + 10ab + 25b^2}\). Заметим, что под корнем находится полный квадрат: \(a^2 + 10ab + 25b^2 = (a + 5b)^2\). Тогда \(\sqrt{(a + 5b)^2} = |a + 5b|\). Подставим значения \(a=14\frac{6}{13} = \frac{14 \cdot 13 + 6}{13} = \frac{182 + 6}{13} = \frac{188}{13}\) и \(b=\frac{4}{13}\). Получаем \(|\frac{188}{13} + 5 \cdot \frac{4}{13}| = |\frac{188}{13} + \frac{20}{13}| = |\frac{208}{13}| = \frac{208}{13} = 16\). Ответ: 16. б) Упростим выражение \(\sqrt{a^2 - 4ab + 4b^2}\). Заметим, что под корнем находится полный квадрат: \(a^2 - 4ab + 4b^2 = (a - 2b)^2\). Тогда \(\sqrt{(a - 2b)^2} = |a - 2b|\). Подставим значения \(a=3\) и \(b=4\). Получаем \(|3 - 2 \cdot 4| = |3 - 8| = |-5| = 5\). Ответ: 5. в) Упростим выражение \((\sqrt{17} +2)^2 - 4\sqrt{17}\). Раскроем квадрат: \((\sqrt{17} +2)^2 = (\sqrt{17})^2 + 2 \cdot \sqrt{17} \cdot 2 + 2^2 = 17 + 4\sqrt{17} + 4 = 21 + 4\sqrt{17}\). Тогда \(21 + 4\sqrt{17} - 4\sqrt{17} = 21\). Ответ: 21. г) Упростим выражение \((\sqrt{27}+\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}\). Заметим, что \(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\). Тогда \((3\sqrt{3} + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12\). Ответ: 12. д) Упростим выражение \((\sqrt{19}-\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{19}+\sqrt{2})\). Это разность квадратов: \((\sqrt{19}-\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{19}+\sqrt{2}) = (\sqrt{19})^2 - (\sqrt{2})^2 = 19 - 2 = 17\). Ответ: 17.