1. Треугольник АРК равнобедренный с основанием АК. Найдите углы АРН и КНР, если РН - медиана, ∠APK = 86°. 2. Точка О является сере- диной отрезка МК, ДМ = ∠K (см. рисунок). Докажите, что А мов = Δ ΚΟΑ. 3*. Точка А лежит на медиане, проведенной к основанию равнобедренного треугольника. Докажите, что она одинаково удалена от вершин основания. 4*. Медианы ВК и DN равностороннего треугольника DCB пересекаются в точке О. Докажите, что ∆ BON = A DOK.

1. Треугольник АРК равнобедренный с основанием АК, РН - медиана.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой.

Тогда ∠АРН = ∠КРН = ∠APK / 2 = 86° / 2 = 43°.

Так как РН - высота, то углы АНР и КНР прямые.

∠АНР = ∠КНР = 90°.

Ответ: ∠АРН = 43°, ∠КНР = 90°.

2. Дано: точка O - середина MK, ∠M = ∠K. Доказать: ΔMOB = ΔKOA.

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольники ΔMOB и ΔKOA.

2) MO = OK (т.к. O - середина MK).

3) ∠M = ∠K (по условию).

4) ∠MOB = ∠KOA (как вертикальные).

Следовательно, ΔMOB = ΔKOA (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Что и требовалось доказать.

3. Доказательство:

Пусть А лежит на медиане BD, проведенной к основанию равнобедренного треугольника ABC.

Тогда ΔАВС – равнобедренный, AB = BC.

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является также высотой.

Тогда AD = DC, углы ADB и CDB – прямые.

Рассмотрим треугольники ΔАDB и ΔCDB.

BD – общая сторона, AB = BC, углы ADB и CDB – прямые, AD = DC.

Тогда ΔАDB = ΔCDB (по двум сторонам и углу между ними).

Отсюда следует, что DA = DB.

Значит, точка А равноудалена от вершин основания.

4. Доказательство:

Пусть ВК и DN – медианы равностороннего треугольника DCB, пересекающиеся в точке O.

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.

Тогда углы DCB, DBC и CDB = 60°.

Медианы равностороннего треугольника являются также биссектрисами и высотами.

Рассмотрим треугольники ΔBON и ΔDOK.

Угол OBN = углу ODK (т.к. медианы являются биссектрисами, то половина угла DBC = половине угла DCB).

Угол BON = углу DOK (как вертикальные).

Так как треугольник DCB равносторонний, то все его стороны равны.

Тогда BN = DK (т.к. медианы делят стороны пополам).

Следовательно, ΔBON = ΔDOK (по стороне и двум прилежащим к ней углам).