Тип 13 № 509223 Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно √17.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, где ABCD - квадрат, S - вершина пирамиды, а O - центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата). Сторона основания равна 4, то есть AB = BC = CD = DA = 4. Боковое ребро равно √17, то есть SA = SB = SC = SD = √17. Для нахождения объема пирамиды необходимо найти высоту пирамиды SO. Так как O - центр квадрата, то AO является половиной диагонали квадрата. Диагональ квадрата можно найти по формуле $$d = a\sqrt{2}$$, где a - сторона квадрата. Таким образом, AC = 4√2, и AO = AC/2 = 2√2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник SOA. По теореме Пифагора: $$SO^2 + AO^2 = SA^2$$ $$SO^2 = SA^2 - AO^2$$ $$SO^2 = (\sqrt{17})^2 - (2\sqrt{2})^2$$ $$SO^2 = 17 - 8 = 9$$ $$SO = \sqrt{9} = 3$$ Высота пирамиды равна 3. Площадь основания пирамиды (квадрата) равна: $$S_{ABCD} = a^2 = 4^2 = 16$$ Объем пирамиды равен: $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 3 = 16$$ Ответ: 16