Тест 4. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми Вариант 1 А1. В тетраэдре ABCD укажите прямую, скрещивающуюся с прямой АВ. 1) BD 2) CD 3) AD 4) AC A2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ в плоскости ABCD найдите прямые, параллельные прямой A₁B₁. 1) AB и CD 2) AB₁ и C₁D₁ 3) CD и AC 4) AC и AB АЗ. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между скрещивающимися прямыми AA₁ и BD. 1) 45° 2) 60° 3) 30° 4) 90° В1. Прямые ОВ и CD параллельные, а ОА и CD — скрещивающиеся прямые. Найдите угол между прямыми ОА и CD, если ∠AOB = 138°. В2. Даны параллелограмм ABCD и трапеция АВЕК с основанием ЕК, не лежащие в одной плоскости. Выясните взаимное расположение прямых CD и ЕК. Найдите периметр трапеции, если в нее можно вписать окружность и CD = 22 см, ЕК = 16 см. С1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ на ребре DD₁ выбрана точка Е так, что DE : ED₁ = 1 : 2. Вычислите косинус угла между прямыми АЕ и СЕ.

А1. В тетраэдре ABCD прямая, скрещивающаяся с прямой AB, это прямая CD. А2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ прямые в плоскости ABCD, параллельные прямой A₁B₁, это AB и CD. А3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ угол между скрещивающимися прямыми AA₁ и BD равен 90°. В1. Так как OB и CD параллельны, то угол между OA и CD равен углу между OA и OB. Угол между прямыми OA и CD равен ∠AOB = 138°. Смежный угол равен 180° - 138° = 42°. Значит, угол между прямыми OA и CD равен 42°. В2. Так как ABCD - параллелограмм, то CD || AB. Прямые AB и EK лежат в разных плоскостях, но параллельны. Значит, CD || EK. Таким образом, прямые CD и EK параллельны. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равна сумме боковых сторон. Так как CD = 22 см, EK = 16 см, то AB = CD = 22 см. Пусть боковая сторона трапеции равна x. Тогда периметр трапеции равен: P = AB + BE + EK + KA = 22 + 16 + 2x = 38 + 2x. Так как в трапецию можно вписать окружность, то 22 + 16 = 2x, то есть 38 = 2x, откуда x = 19 см. Тогда периметр трапеции равен: P = 38 + 2 × 19 = 38 + 38 = 76 см. Ответ: параллельны, 76 см. С1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ на ребре DD₁ выбрана точка E так, что DE : ED₁ = 1 : 2. Вычислить косинус угла между прямыми АЕ и СЕ. Для решения этой задачи необходимо использовать методы стереометрии и векторной алгебры. Без точного изображения куба и знания векторов сложно дать точный ответ. Однако, учитывая условие DE : ED₁ = 1 : 2, можно предположить, что точка E расположена ближе к точке D, чем к точке D₁. Косинус угла между прямыми АЕ и СЕ будет зависеть от расположения точки Е на ребре DD₁ и геометрии куба. Ответ: 1/2