Среди 15 человек некоторые друзья. Но любые два человека, имеющие среди других одинаковое число друзей, между собой не дружат. Найдите максимальное возможное число разных пар друзей среди этих 15 человек.

Для решения этой задачи рассмотрим, как могут быть организованы дружеские связи между людьми, чтобы максимизировать число пар друзей.

Обозначим количество людей через n. В данном случае, n = 15.

Предположим, что существует человек, у которого нет друзей. Тогда, по условию, никто из остальных людей не может быть другом всем остальным. Значит, максимальное количество друзей у кого-то из этих 14 человек равно 13.

Таким образом, у нас может быть 1 человек, у которого 0 друзей, 1 человек, у которого 1 друг, и так далее, до 1 человека, у которого 13 друзей. Это означает, что у каждого человека разное количество друзей.

Однако, если у одного человека 0 друзей, а у другого 13 друзей, то возникает противоречие. Человек с 13 друзьями должен дружить со всеми остальными, включая человека с 0 друзьями, но человек с 0 друзьями ни с кем не дружит.

Чтобы избежать этого противоречия, мы должны исключить либо человека с 0 друзьями, либо человека с 13 друзьями.

Если мы исключим человека с 0 друзьями, тогда минимальное число друзей у кого-то будет 1, а максимальное 13. Значит, мы можем иметь людей с 1, 2, ..., 13 друзьями. Но это 13 человек, а у нас 15 человек. Эта схема не работает.

Рассмотрим другой подход. Предположим, что мы исключили возможность дружбы между всеми. Тогда количество друзей у каждого может варьироваться от 1 до 14. В этом случае, у нас должны быть люди с 1, 2, ..., 7 друзьями, и 7, 8, ..., 14. Но это 14 человек, а у нас 15.

Чтобы максимизировать число дружеских пар, нужно создать ситуацию, в которой есть группа людей, дружащих между собой, и группа людей, не дружащих между собой. Пусть у нас есть группа из 7 человек, которые дружат между собой. В этой группе каждый имеет 6 друзей. Добавим к ним еще одного человека, который ни с кем из них не дружит. Получается, что все люди имеют одинаковое количество друзей, а значит, они не должны дружить между собой.

Попробуем разделить 15 человек на две группы: в одной 7 человек, а в другой 8 человек. В группе из 7 человек каждый дружит с каждым, так что количество пар друзей равно $$\frac{7 \cdot 6}{2} = 21$$. В группе из 8 человек никто ни с кем не дружит. Тогда общее число пар друзей равно 21.

Теперь попробуем другую разбивку: 8 человек дружат между собой. Тогда число пар равно $$\frac{8 \cdot 7}{2} = 28$$. Остальные 7 человек ни с кем не дружат. Тогда общее число пар равно 28.

Однако, по условию, любые два человека, имеющие среди других одинаковое число друзей, между собой не дружат. Значит, все люди должны иметь разное число друзей. Это значит, что такая конфигурация не может быть достигнута.

Чтобы найти максимальное число пар друзей, мы должны рассмотреть все возможные варианты. В одной из конфигураций 7 человек дружат между собой, тогда число дружеских пар составляет $$\frac{7 \cdot 6}{2} = 21$$. А остальные 8 человек ни с кем не дружат.

Наибольшее возможное число пар будет 42.