1. Сколькими способами можно выбрать три различные краски из имеющихся пяти? 2. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского, немецкого, французского, итальянского, на любой из этих 5 языков? 3. У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого 9 книг. Сколькими способами они могут обменять по две книги одного на две книги другого? 4. Из состава конференции, на которой присутствует 52 человека, надо избрать делегацию, состоящую из 5 человек. Сколькими способами можно это сделать? 5. У отца есть 5 попарно различных апельсинов, которые он выдает своим 8 сыновьям так, что каждый получает один апельсин, либо ничего. Сколькими способами можно это сделать? 6. Из спортивного клуба, насчитывающего 30 человек, надо составить команду из 4 человек для участия в беге на 1000 м. Сколькими способами можно это сделать? А сколькими способами можно составить команду из 4 человек для участия в эстафете? 7. Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из одного офицера, двух сержантов и 20 рядовых? 8. Составьте расписание из 10 предметов. Сколькими способами это можно сделать? 9. Имеется набор из 5 ручек разных цветов. Сколькими способами можно выбрать 3 ручки для обводки чертежа, если среди них обязательно должен быть красный цвет? 10. В классе 25 человек. На выпускном вечере они обменялись своими фотографиями. Сколько фотокарточек было использовано? 11. Из бригады, состоящей из 21 человека, необходимо послать на профсоюзную конференцию трех человек. Сколько вариантов такого выбора?

Решим каждую задачу по порядку: 1. Задача: Сколькими способами можно выбрать три различные краски из имеющихся пяти? * Это задача на сочетания без повторений. Нужно выбрать 3 краски из 5, порядок не важен. Формула для сочетаний: $$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$, где n - общее количество элементов, k - количество элементов для выбора. * В нашем случае n = 5, k = 3. Следовательно, $$C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$$ * Ответ: 10 способами. 2. Задача: Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского, немецкого, французского, итальянского, на любой из этих 5 языков? * Чтобы можно было переводить с любого языка на любой другой, нужно иметь словари для каждой пары языков. Количество таких пар можно вычислить как количество размещений из 5 по 2, деленное на 2 (т.к. словарь с русского на английский и с английского на русский - это разные словари, но они соответствуют одной паре языков). * Число словарей равно числу сочетаний из 5 по 2, умноженному на 2 (для каждого сочетания нужны два словаря: A->B и B->A). * $$A(5, 2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20$$ * $$C(5,2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$$ * Так как нужен словарь с каждого языка на каждый другой, то всего нужно 10 * 2 = 20 словарей. Но словари с языка на этот же язык не нужны, поэтому количество словарей можно рассчитать как $$5 \cdot (5-1) = 5 \cdot 4 = 20$$. * Ответ: 20 словарей. 3. Задача: У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого 9 книг. Сколькими способами они могут обменять по две книги одного на две книги другого? * Первый человек выбирает 2 книги из 7: $$C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$$ * Второй человек выбирает 2 книги из 9: $$C(9, 2) = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$$ * Общее количество способов обмена: $$21 \cdot 36 = 756$$ * Ответ: 756 способами. 4. Задача: Из состава конференции, на которой присутствует 52 человека, надо избрать делегацию, состоящую из 5 человек. Сколькими способами можно это сделать? * Это задача на сочетания без повторений. Нужно выбрать 5 человек из 52, порядок не важен. * В нашем случае n = 52, k = 5. Следовательно, $$C(52, 5) = \frac{52!}{5!(52-5)!} = \frac{52!}{5!47!} = \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 2598960$$ * Ответ: 2598960 способами. 5. Задача: У отца есть 5 попарно различных апельсинов, которые он выдает своим 8 сыновьям так, что каждый получает один апельсин, либо ничего. Сколькими способами можно это сделать? * Нужно выбрать 5 сыновей из 8, чтобы дать им апельсины. Порядок не важен. * $$C(8, 5) = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$$ * Ответ: 56 способами. 6. Задача: Из спортивного клуба, насчитывающего 30 человек, надо составить команду из 4 человек для участия в беге на 1000 м. Сколькими способами можно это сделать? А сколькими способами можно составить команду из 4 человек для участия в эстафете? * Для бега на 1000 м порядок не важен: $$C(30, 4) = \frac{30!}{4!(30-4)!} = \frac{30!}{4!26!} = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 27405$$ * Для эстафеты порядок важен: $$A(30, 4) = \frac{30!}{(30-4)!} = \frac{30!}{26!} = 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 = 657720$$ * Ответ: 27405 способами для бега на 1000 м и 657720 способами для эстафеты. 7. Задача: Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из одного офицера, двух сержантов и 20 рядовых? * Выбираем 1 офицера из 3: $$C(3, 1) = 3$$ * Выбираем 2 сержанта из 6: $$C(6, 2) = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$$ * Выбираем 20 рядовых из 60: $$C(60, 20) = \frac{60!}{20!40!}$$ * Общее количество способов: $$3 \cdot 15 \cdot C(60, 20) = 45 \cdot \frac{60!}{20!40!}$$ * $$C(60, 20)$$ это очень большое число, вычислим его примерно, но оставим в таком виде. * Ответ: $$45 \cdot \frac{60!}{20!40!}$$ способами. 8. Задача: Составьте расписание из 10 предметов. Сколькими способами это можно сделать? * Это задача на перестановки. Нужно расположить 10 предметов в определенном порядке. * Количество перестановок P = n!, где n - количество предметов. В нашем случае n = 10. Следовательно, P = 10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3628800 * Ответ: 3628800 способами. 9. Задача: Имеется набор из 5 ручек разных цветов. Сколькими способами можно выбрать 3 ручки для обводки чертежа, если среди них обязательно должен быть красный цвет? * Выбираем 1 красную ручку (1 способ). * Остается выбрать 2 ручки из оставшихся 4: $$C(4, 2) = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$$ * Ответ: 6 способами. 10. Задача: В классе 25 человек. На выпускном вечере они обменялись своими фотографиями. Сколько фотокарточек было использовано? * Каждый человек обменивается фотографиями с 24 другими. Всего 25 человек. * Всего обменов: 25 * 24 = 600. * Ответ: 600 фотокарточек. 11. Задача: Из бригады, состоящей из 21 человека, необходимо послать на профсоюзную конференцию трех человек. Сколько вариантов такого выбора? * Это задача на сочетания без повторений. Нужно выбрать 3 человек из 21, порядок не важен. * В нашем случае n = 21, k = 3. Следовательно, $$C(21, 3) = \frac{21!}{3!(21-3)!} = \frac{21!}{3!18!} = \frac{21 \cdot 20 \cdot 19}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1330$$ * Ответ: 1330 вариантами.