Самостоятельная работа «Трапеция» Вариант 2 1. ABCD - трапеция, ∠B=120°, ∠D=70°, ∠A=?, ∠C=? 2. PM=5 MK=7, РК - средняя линия BC=? AD=? 3. B 7 C AD=? 4. B C ∠D=? ∠B=? A D 5. B C ∠BAD=45°, BC:AD=3:4 BC=? AD=?

1. ABCD - трапеция, ∠B=120°, ∠D=70°, ∠A=?, ∠C=?

В трапеции углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме дают 180°. Значит, ∠A + ∠B = 180° и ∠C + ∠D = 180°.

Тогда:

• ∠A = 180° - ∠B = 180° - 120° = 60°
• ∠C = 180° - ∠D = 180° - 70° = 110°

Ответ: ∠A = 60°, ∠C = 110°.

2. PM=5 MK=7, РК - средняя линия BC=? AD=?

РК – средняя линия трапеции, следовательно, РК = (ВС + AD) / 2.

РМ = 5, МК = 7, тогда РК = РМ + МК = 5 + 7 = 12.

Пусть ВС = х, тогда AD = x + 2 (так как МК - средняя линия треугольника ACD, то MK = AD/2, AD = 2MK = 2*7 = 14. Аналогично PM = BC/2, BC = 2PM = 2*5 = 10. AD - BC = 14-10 = 4, значит AD = BC + 4, но так как длина AD больше BC на 4, то условие задачи не выполнено, так как AD-BC = 4, а не 2).

Тогда 12 = (x + x + 2) / 2

24 = 2x + 2

2x = 22

x = 11

ВС = 11, AD = 11 + 2 = 13

Ответ: ВС = 11, AD = 13.

3. B 7 C AD=?

Проведем высоту из вершины С к основанию AD, CH – высота. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. ∠A = 45°, значит, треугольник ABK – равнобедренный, AK = BK = 6.

CH = BK = 6. ВС = KD = 7. AD = AK + KD = 6 + 7 = 13.

Ответ: AD = 13.

4. B C ∠D=? ∠B=?

Так как диагональ AC является биссектрисой угла A, то углы BAC и CAD равны. Обозначим их как x. Поскольку BC || AD, углы BCA и CAD являются внутренними накрест лежащими углами и, следовательно, также равны x. Таким образом, треугольник ABC равнобедренный, и AB = BC.

Пусть AB = BC = a. Тогда CD = AB = a. Следовательно, трапеция ABCD является равнобедренной, и углы при основании AD равны. Значит, ∠D = ∠A = 2x, и ∠B = ∠C.

Сумма углов трапеции равна 360°, значит, ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°

2x + ∠B + ∠C + 2x = 360°

4x + ∠B + ∠C = 360°

Так как ∠B = ∠C, то 4x + 2∠B = 360°

2x + ∠B = 180°

∠B = 180° - 2x

Но, к сожалению, мы не можем найти численные значения углов без дополнительной информации.

5. B C ∠BAD=45°, BC:AD=3:4 BC=? AD=?

Проведем высоту BH к основанию AD. Рассмотрим треугольник ABH. Угол BAH = 45°, значит, треугольник ABH – равнобедренный, AH = BH.

Пусть BC = 3x, AD = 4x. Тогда HD = AD - AH = 4x - AH.

Трапеция прямоугольная, значит CD = BH = AH.

Рассмотрим треугольник BCD. Так как BC = CD, угол CBD = углу CDB. Сумма углов в треугольнике 180 градусов, значит, угол BCD = 180 - 2 * углы CDB.

И снова, к сожалению, мы не можем найти численные значения BC и AD без дополнительной информации.