Самостоятельная работа по теме «Теорема Пифагора» Вариант 3 Найдите гипотенузу, если катеты равны 5см и 4 см Найдите катет, если гипотенуза равна 10см, а второй катет равен 7см Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 18см и 24см Найдите диагональ прямоугольника со сторонами 2см и 5см Найдите площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 12см. а основание - 8см Найдите высоту равнобокой трапеции с основаниями 15см и 23см, если боковая сторона равна 5см

Решим задачи по геометрии, используя теорему Пифагора. 1. Найдите гипотенузу, если катеты равны 5 см и 4 см.

Пусть (a = 5) см и (b = 4) см – катеты прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора, гипотенуза (c) равна:

$$c = sqrt{a^2 + b^2}$$ $$c = sqrt{5^2 + 4^2} = sqrt{25 + 16} = sqrt{41}$$

Гипотенуза равна (sqrt{41}) см.

Ответ:  $$\sqrt{41}$$ см 2. Найдите катет, если гипотенуза равна 10 см, а второй катет равен 7 см.

Пусть (c = 10) см – гипотенуза и (a = 7) см – один из катетов. По теореме Пифагора, второй катет (b) равен:

$$b = sqrt{c^2 - a^2}$$ $$b = sqrt{10^2 - 7^2} = sqrt{100 - 49} = sqrt{51}$$

Второй катет равен (sqrt{51}) см.

Ответ: $$\sqrt{51}$$ см 3. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 18 см и 24 см.

Пусть (d_1 = 18) см и (d_2 = 24) см – диагонали ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения. Тогда половинки диагоналей равны (d_1/2 = 9) см и (d_2/2 = 12) см. Сторона ромба (a) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами (d_1/2) и (d_2/2). По теореме Пифагора:

$$a = sqrt{(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2}$$ $$a = sqrt{9^2 + 12^2} = sqrt{81 + 144} = sqrt{225} = 15$$

Сторона ромба равна 15 см.

Ответ: 15 см 4. Найдите диагональ прямоугольника со сторонами 2 см и 5 см.

Пусть (a = 2) см и (b = 5) см – стороны прямоугольника. Диагональ прямоугольника (d) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами (a) и (b). По теореме Пифагора:

$$d = sqrt{a^2 + b^2}$$ $$d = sqrt{2^2 + 5^2} = sqrt{4 + 25} = sqrt{29}$$

Диагональ прямоугольника равна (sqrt{29}) см.

Ответ: $$\sqrt{29}$$ см 5. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 12 см, а основание - 8 см.

Пусть (a = 12) см – боковая сторона и (b = 8) см – основание равнобедренного треугольника. Высота (h) делит основание пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной. Тогда:

$$h = sqrt{a^2 - (b/2)^2}$$ $$h = sqrt{12^2 - (8/2)^2} = sqrt{144 - 4^2} = sqrt{144 - 16} = sqrt{128} = 8sqrt{2}$$

Площадь треугольника (S) равна:

$$S = rac{1}{2} cdot b cdot h = rac{1}{2} cdot 8 cdot 8sqrt{2} = 32sqrt{2}$$

Площадь треугольника равна (32sqrt{2}) см².

Ответ: $$32\sqrt{2}$$ см² 6. Найдите высоту равнобокой трапеции с основаниями 15 см и 23 см, если боковая сторона равна 5 см.

Пусть (a = 15) см и (b = 23) см – основания трапеции, (c = 5) см – боковая сторона. Высота (h) трапеции образует прямоугольный треугольник с боковой стороной и отрезком на большем основании. Длина этого отрезка равна ((b - a) / 2 = (23 - 15) / 2 = 8 / 2 = 4) см. Тогда:

$$h = sqrt{c^2 - ((b - a) / 2)^2}$$ $$h = sqrt{5^2 - 4^2} = sqrt{25 - 16} = sqrt{9} = 3$$

Высота трапеции равна 3 см.

Ответ: 3 см