Решите задачу Дано: ∠ABC = 90°; BD \perp AC; BD = 12 см; DC - AD = 7 см. Найти: P_{\triangle ABC}.

Решение: ШАГ 1: Анализ условия и идентификация задачи. Дано: * Прямоугольный треугольник ABC ($$\angle ABC = 90^\circ$$) * BD - высота, проведенная к гипотенузе AC (BD $$\perp$$ AC) * BD = 12 см * DC - AD = 7 см Найти: Периметр треугольника ABC ($$P_{\triangle ABC}$$). ШАГ 2: Выбор методики и планирование решения. Для решения этой задачи будем использовать свойства прямоугольных треугольников и теорему Пифагора. План решения: 1. Выразить DC через AD, используя данное соотношение DC - AD = 7 см. 2. Применить свойство высоты, проведенной из вершины прямого угла: $$BD^2 = AD \cdot DC$$. 3. Найти AD и DC, решив полученное уравнение. 4. Найти AB и BC, используя теорему Пифагора для треугольников ABD и CBD. 5. Найти AC, сложив AD и DC. 6. Вычислить периметр треугольника ABC. ШАГ 3: Пошаговое выполнение и форматирование. 1. Выразим DC через AD: $$DC = AD + 7$$ 2. Применим свойство высоты: $$BD^2 = AD \cdot DC$$ $$12^2 = AD \cdot (AD + 7)$$ 3. Решим квадратное уравнение относительно AD: $$144 = AD^2 + 7AD$$ $$AD^2 + 7AD - 144 = 0$$ Для решения квадратного уравнения используем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 49 + 576 = 625$$ $$AD_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{-7 \pm 25}{2}$$ Так как длина не может быть отрицательной, берем положительный корень: $$AD = \frac{-7 + 25}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ Тогда: $$DC = AD + 7 = 9 + 7 = 16$$ 4. Найдем AB и BC, используя теорему Пифагора: Для треугольника ABD: $$AB^2 = AD^2 + BD^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$$ $$AB = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$$ Для треугольника CBD: $$BC^2 = BD^2 + DC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$$ $$BC = \sqrt{400} = 20 \text{ см}$$ 5. Найдем AC: $$AC = AD + DC = 9 + 16 = 25 \text{ см}$$ 6. Вычислим периметр треугольника ABC: $$P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC = 15 + 20 + 25 = 60 \text{ см}$$ ШАГ 4: Финальное оформление ответа. Периметр треугольника ABC равен 60 см.