Решите уравнение: x⁵ – x⁴ – 10x³ + 10x² – 11x + . Сколько корней имеет данное уравнение? Запишите сумму рациональных корней уравнения.

Решим уравнение $$x^5 - x^4 - 10x^3 + 10x^2 - 11x + 11 = 0$$. Шаг 1: Сгруппируем члены уравнения: $$(x^5 - x^4) - (10x^3 - 10x^2) - (11x - 11) = 0$$ Шаг 2: Вынесем общие множители из каждой группы: $$x^4(x - 1) - 10x^2(x - 1) - 11(x - 1) = 0$$ Шаг 3: Вынесем общий множитель (x - 1): $$(x - 1)(x^4 - 10x^2 - 11) = 0$$ Шаг 4: Решим уравнение $$x - 1 = 0$$: $$x_1 = 1$$ Шаг 5: Решим уравнение $$x^4 - 10x^2 - 11 = 0$$. Введем замену $$y = x^2$$: $$y^2 - 10y - 11 = 0$$ Шаг 6: Решим квадратное уравнение относительно y. Найдем дискриминант: $$D = (-10)^2 - 4 cdot 1 cdot (-11) = 100 + 44 = 144$$ Шаг 7: Найдем корни квадратного уравнения: $$y_1 = rac{-(-10) + sqrt{144}}{2 cdot 1} = rac{10 + 12}{2} = 11$$ $$y_2 = rac{-(-10) - sqrt{144}}{2 cdot 1} = rac{10 - 12}{2} = -1$$ Шаг 8: Вернемся к замене $$x^2 = y$$. Шаг 9: Решим уравнение $$x^2 = 11$$: $$x_{2,3} = pm sqrt{11}$$ Шаг 10: Решим уравнение $$x^2 = -1$$: $$x_{4,5} = pm i$$ Таким образом, уравнение имеет 5 корней: $$1, sqrt{11}, -sqrt{11}, i, -i$$. Следовательно, данное уравнение имеет 5 корней. Рациональным корнем является только 1. Сумма рациональных корней уравнения равна 1.