Решите уравнение x² - 6|x| + 8 = 0. Запишите количество корней данного уравнения. Найдите сумму всех корней.

Решим уравнение $$x^2 - 6|x| + 8 = 0$$.

1. Рассмотрим случай, когда $$x \ge 0$$. Тогда $$|x| = x$$, и уравнение принимает вид:

$$x^2 - 6x + 8 = 0$$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант равен:

$$D = (-6)^2 - 4 cdot 1 cdot 8 = 36 - 32 = 4$$

Корни:

$$x_1 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2$$

Оба корня положительны, значит, $$x_1 = 4$$ и $$x_2 = 2$$ являются решениями исходного уравнения.

2. Рассмотрим случай, когда $$x < 0$$. Тогда $$|x| = -x$$, и уравнение принимает вид:

$$x^2 + 6x + 8 = 0$$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант равен:

$$D = (6)^2 - 4 cdot 1 cdot 8 = 36 - 32 = 4$$

Корни:

$$x_3 = \frac{-6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 + 2}{2} = -2$$ $$x_4 = \frac{-6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 - 2}{2} = -4$$

Оба корня отрицательны, значит, $$x_3 = -2$$ и $$x_4 = -4$$ являются решениями исходного уравнения.

Таким образом, уравнение $$x^2 - 6|x| + 8 = 0$$ имеет четыре корня: $$4, 2, -2, -4$$.

Количество корней данного уравнения: 4.

Сумма всех корней: $$4 + 2 + (-2) + (-4) = 0$$.

Сумма всех корней равна: 0.