447. Решите способом подстановки систему уравнений: a) $$\begin{cases}x^2 + y^2 = 12, \\ xy = -6;\end{cases}$$ б) $$\begin{cases}2x^2 - y^2 = 34, \\ xy = 20.\end{cases}$$

Решим системы уравнений способом подстановки. а) $$\begin{cases}x^2 + y^2 = 12, \\ xy = -6;\end{cases}$$ Выразим $$y$$ из второго уравнения: $$y = \frac{-6}{x}$$. Подставим это выражение в первое уравнение: $$x^2 + \left(\frac{-6}{x}\right)^2 = 12$$ $$x^2 + \frac{36}{x^2} = 12$$ Умножим обе части на $$x^2$$: $$x^4 + 36 = 12x^2$$ $$x^4 - 12x^2 + 36 = 0$$ Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 12t + 36 = 0$$ $$(t - 6)^2 = 0$$ $$t = 6$$ Значит, $$x^2 = 6$$, откуда $$x = \pm \sqrt{6}$$. Если $$x = \sqrt{6}$$, то $$y = \frac{-6}{\sqrt{6}} = -\sqrt{6}$$. Если $$x = -\sqrt{6}$$, то $$y = \frac{-6}{-\sqrt{6}} = \sqrt{6}$$. Итак, решения системы: $$(\sqrt{6}, -\sqrt{6}), (-\sqrt{6}, \sqrt{6})$$ б) $$\begin{cases}2x^2 - y^2 = 34, \\ xy = 20.\end{cases}$$ Выразим $$y$$ из второго уравнения: $$y = \frac{20}{x}$$. Подставим это выражение в первое уравнение: $$2x^2 - \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 34$$ $$2x^2 - \frac{400}{x^2} = 34$$ Умножим обе части на $$x^2$$: $$2x^4 - 400 = 34x^2$$ $$2x^4 - 34x^2 - 400 = 0$$ $$x^4 - 17x^2 - 200 = 0$$ Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 17t - 200 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = (-17)^2 - 4(1)(-200) = 289 + 800 = 1089 = 33^2$$ Корни уравнения: $$t_1 = \frac{17 + 33}{2} = \frac{50}{2} = 25$$ $$t_2 = \frac{17 - 33}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$ Так как $$t = x^2$$, то $$x^2 = 25$$ или $$x^2 = -8$$. Второй случай невозможен, т.к. $$x$$ - действительное число. Значит, $$x^2 = 25$$, откуда $$x = \pm 5$$. Если $$x = 5$$, то $$y = \frac{20}{5} = 4$$. Если $$x = -5$$, то $$y = \frac{20}{-5} = -4$$. Итак, решения системы: $$(5, 4), (-5, -4)$$ Ответ: а) $$(\sqrt{6}, -\sqrt{6}), (-\sqrt{6}, \sqrt{6})$$ б) $$(5, 4), (-5, -4)$$