6. Равнобедренный треугольник Вычисли периметр треугольника САВ и сторону АВ, если CF – медиана, AC=CB = 200 см и BF = 75 см.

Выполним задание по геометрии. Т.к. треугольник CAB равнобедренный и CF - медиана, то CF также является высотой и биссектрисой. Тогда медиана BF является высотой к боковой стороне CA. 1. Рассмотрим треугольник BFC. Он прямоугольный, т.к. BF - высота. Тогда по теореме Пифагора: $$BC^2 = BF^2 + FC^2$$ $$200^2 = 75^2 + FC^2$$ $$40000 = 5625 + FC^2$$ $$FC^2 = 34375$$ $$FC = \sqrt{34375} = 25\sqrt{55}$$ 2. Т.к. CF - медиана, то $$AF = FC = 25\sqrt{55}$$. Тогда $$AC = AF + FC = 25\sqrt{55} + 25\sqrt{55} = 50\sqrt{55} = CB$$ 3. Рассмотрим треугольник ABF. Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BF = \frac{1}{2} \cdot CF \cdot AB$$ Тогда $$AC \cdot BF = CF \cdot AB$$ $$50\sqrt{55} \cdot 75 = 25\sqrt{55} \cdot AB$$ $$AB = \frac{50\sqrt{55} \cdot 75}{25\sqrt{55}} = 2 \cdot 75 = 150$$ 4. Найдем периметр треугольника CAB: $$P_{CAB} = AC + CB + AB = 50\sqrt{55} + 50\sqrt{55} + 150 = 100\sqrt{55} + 150$$ Ответ: $$AB = 150 \text{ см}$$ $$P_{CAB} = (150 + 100\sqrt{55}) \text{ см}$$