Расстояние от т.Р до плоскости \( \alpha \) равно 12 см, наклонные образуют с плоскостью углы равные 30° и 60° соответственно. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если угол между проекциями равен 90°.

1. Пусть точка P - вершина, из которой проведены две наклонные к плоскости \( \alpha \). Обозначим основания наклонных как A и B, а проекцию точки P на плоскость \( \alpha \) как точку O. Дано: PO = 12 см, \( \angle PAO = 30^\circ \), \( \angle PBO = 60^\circ \), \( \angle AOB = 90^\circ \). Нужно найти расстояние между точками A и B, то есть длину отрезка AB.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle PAO \). В нем \( \angle PAO = 30^\circ \) и PO = 12 см. Тогда \( AO = \frac{PO}{\tan 30^\circ} = \frac{12}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 12\sqrt{3} \) см.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle PBO \). В нем \( \angle PBO = 60^\circ \) и PO = 12 см. Тогда \( BO = \frac{PO}{\tan 60^\circ} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \) см.
4. Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle AOB \), где \( \angle AOB = 90^\circ \), AO = \( 12\sqrt{3} \) см, BO = \( 4\sqrt{3} \) см. По теореме Пифагора найдем AB: \( AB^2 = AO^2 + BO^2 = (12\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})^2 = 144 \cdot 3 + 16 \cdot 3 = 432 + 48 = 480 \).
5. Таким образом, \( AB = \sqrt{480} = \sqrt{16 \cdot 30} = 4\sqrt{30} \) см.

Ответ: \( 4\sqrt{30} \) см.