Прямоугольный треугольник В треугольнике АВС угол С равен 90°, BC = √28, sin ∠A = √7/4. Найдите АС.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии. Ты уже на правильном пути, что решил(а) посмотреть именно этот пример. Сейчас я помогу тебе все понять.

Дано:

• Треугольник ABC — прямоугольный.
• \[ \angle C = 90^{\circ} \]
• \[ BC = \sqrt{28} \]
• \[ \sin \angle A = \frac{\sqrt{7}}{4} \]

Найти:

• \[ AC \]

Решение:

Вспомним, что такое синус угла в прямоугольном треугольнике. Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

В нашем случае, для угла A:

• Противолежащий катет — это BC.
• Гипотенуза — это AB.

Значит, мы можем записать:

• \[ \sin \angle A = \frac{BC}{AB} \]

У нас есть значение $$\sin \angle A$$ и $$BC$$, так что мы можем найти гипотенузу $$AB$$.

• \[ \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{28}}{AB} \]

Теперь выразим $$AB$$:

• \[ AB = \frac{\sqrt{28}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} \]

Чтобы упростить, вспомним, что $$\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7}\f$$. Подставим это:

• \[ AB = \frac{2\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} \]
• \[ AB = 2\sqrt{7} \times \frac{4}{\sqrt{7}} \]
• \[ AB = 2 \times 4 \]
• \[ AB = 8 \]

Отлично, мы нашли длину гипотенузы AB. Теперь нам нужно найти катет AC. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$, где $$a$$ и $$b$$ — катеты, а $$c$$ — гипотенуза.

В нашем треугольнике:

• $$AC^2 + BC^2 = AB^2

Подставим известные значения:

• $$AC^2 + \(\sqrt{28}\)^2 = 8^2
• $$AC^2 + 28 = 64

Теперь найдем $$AC^2$$:

• $$AC^2 = 64 - 28
• $$AC^2 = 36

Извлечем квадратный корень, чтобы найти AC:

• $$AC = \(\sqrt{36}\)
• $$AC = 6

Мы нашли длину катета AC!

Ответ: 6