3 Прямая CD проходит через вершину треугольника АВС и не лежит в плоскости АВС. Еи F- середины отрезков АВ и ВС. а) Докажите, что CD и EF скрещивающиеся прямые. б) Найдите угол между прямыми CD и EF, если ∠DCA = 60°.

а) Доказательство, что CD и EF — скрещивающиеся прямые.

Прямая CD не лежит в плоскости ABC, так как она проходит через вершину треугольника ABC и не лежит в плоскости ABC. EF — средняя линия треугольника ABC, так как E и F — середины отрезков AB и BC соответственно. Средняя линия EF лежит в плоскости ABC.

Предположим, что CD и EF лежат в одной плоскости. Тогда плоскость, содержащая CD и EF, должна содержать и точку C, так как CD проходит через вершину C. Также она должна содержать точки E и F, поскольку EF лежит в этой плоскости. Следовательно, эта плоскость должна содержать весь треугольник ABC. Но это противоречит условию, что CD не лежит в плоскости ABC. Таким образом, CD и EF не могут лежать в одной плоскости.

Поскольку CD и EF не лежат в одной плоскости и не параллельны (иначе они лежали бы в одной плоскости), они являются скрещивающимися прямыми.

б) Найти угол между прямыми CD и EF, если ∠DCA = 60°.

Так как EF — средняя линия треугольника ABC, EF параллельна стороне AC. Следовательно, угол между CD и EF равен углу между CD и AC.

По условию, угол ∠DCA = 60°. Следовательно, угол между прямыми CD и EF равен 60° или 180° - 60° = 120°.

Обычно рассматривают острый угол между прямыми, поэтому ответ: 60°.