Вставим пропущенные буквы и определим, где пишется буква Ё:
Щё(1)голь Егор, напевая весёлую песенку, шё(2)л по городским трущ(3)бам. Расчё(4)ской, как трещ(5)ткой, он увлечё(6)нно постукивал по реш(7)ткам. В его сумке лежали жё(8)луди, которые он нёс в цирк медвеж(9)нку.
Буква Ё пишется на местах под номерами: 1, 2, 4, 6, 8.
Ответ: 1, 2, 4, 6, 8