Решение задачи 97

Пусть точка пересечения отрезков АС и BD - точка О. Так как отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам, то AO = OC и BO = OD.

Рассмотрим треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\). У них:

• AO = OC (по условию)
• BO = OD (по условию)
• \(\angle AOB = \angle COD\) (как вертикальные углы)

Следовательно, \(\triangle AOB = \triangle COD\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что \(AB = CD\).

Аналогично, можно доказать равенство треугольников \(\triangle AOD\) и \(\triangle COB\), откуда следует, что \(AD = BC\).

Теперь рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\). У них:

• AB = CD (доказано выше)
• BC = AD (доказано выше)
• AC - общая сторона

Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle CDA\) по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Что и требовалось доказать.