Контрольные задания > Отрезки AB и MN пересекаются в точке O. Известно, что AO = OB = 13 см и MO = ON. Отмеченные на рисунке углы равны. Найдите расстояние между точками А и М, если периметр треугольника BON составляет 33 см.
Вопрос:

Отрезки AB и MN пересекаются в точке O. Известно, что AO = OB = 13 см и MO = ON. Отмеченные на рисунке углы равны. Найдите расстояние между точками А и М, если периметр треугольника BON составляет 33 см.

Ответ:

  1. Рассмотрим треугольники $$\triangle AOM$$ и $$\triangle BON$$. У них $$AO = OB$$ (по условию), $$MO = ON$$ (по условию), $$\angle AOM = \angle BON$$ (как вертикальные). Следовательно, $$\triangle AOM = \triangle BON$$ по двум сторонам и углу между ними.
  2. Из равенства треугольников следует, что $$AM = BN$$.
  3. Периметр треугольника $$\triangle BON$$ равен $$BO + ON + BN = 33$$ см (по условию).
  4. Из условия известно, что $$BO = 13$$ см. Также известно, что $$ON = MO$$. Тогда можно записать выражение для периметра треугольника $$\triangle BON$$ как $$13 + MO + BN = 33$$.
  5. Выразим $$BN$$ из этого уравнения: $$BN = 33 - 13 - MO = 20 - MO$$.
  6. Так как $$AM = BN$$, то $$AM = 20 - MO$$.
  7. Ранее было установлено, что $$MO = ON$$, то есть $$AM = 20 - ON$$.
  8. Поскольку $$\triangle AOM = \triangle BON$$, то $$AM = BN$$. Подставим это в выражение для периметра: $$13 + ON + BN = 33$$, откуда $$BN = 20 - ON$$.
  9. Так как $$AM = BN$$, то $$AM = 20 - ON$$.
  10. Заметим, что в условии дано $$MO = ON$$, значит, $$AM = 20 - ON$$.
  11. Но так как $$\triangle AOM = \triangle BON$$, то $$AM = BN$$, а значит $$AM = 20 - ON$$ или $$AM = 20 - MO$$.
  12. Подставим известные значения в выражение для периметра треугольника BON: $$13 + ON + BN = 33$$. Отсюда следует, что $$ON + BN = 20$$.
  13. Так как $$AM = BN$$, то $$ON + AM = 20$$. Нам нужно найти $$AM$$.
  14. Из равенства треугольников $$AOM$$ и $$BON$$ следует, что $$AM = BN$$. Тогда периметр треугольника $$BON$$ можно записать как $$BO + ON + AM = 33$$. $$BO = 13$$, значит $$13 + ON + AM = 33$$, следовательно, $$ON + AM = 20$$. Так как $$ON = MO$$, то $$MO + AM = 20$$.
  15. И $$\triangle AOM = \triangle BON$$, то $$AM = BN$$. То есть, $$13 + ON + AM = 33$$, следовательно, $$ON + AM = 20$$. $$AM = 20 - ON$$. Из условия $$MO = ON$$ и равенства треугольников следует, что $$AM = BN$$ и $$13 + ON + BN = 33$$, откуда $$BN = 20 - ON$$.
  16. $$ Так как\triangle AOM = \triangle BON $$, то $$AM = BN$$. Периметр $$\triangle BON$$: $$BO + ON + BN = 33 \Rightarrow 13 + ON + BN = 33 \Rightarrow ON + BN = 20$$. Так как $$AM = BN$$, то $$ON + AM = 20 \Rightarrow AM = 20 - ON$$.
  17. $$\triangle AOM = \triangle BON$$ (по двум сторонам и углу между ними). Отсюда следует, что $$AM = BN$$. Периметр $$\triangle BON = BO + ON + BN = 33$$. $$BO = 13$$, значит $$13 + ON + BN = 33$$. $$ON + BN = 20$$. Так как $$ON = MO$$, а $$AM = BN$$, следовательно, $$ON + AM = 20 \Rightarrow AM = 20$$.
AM = 20 см
Смотреть решения всех заданий с листа