Контрольные задания > Окружность вписана в правильный шестиугольник со стороной 9 см. Найдите сторону равностороннего треугольника, вписанного в эту окружность.
Вопрос:

Окружность вписана в правильный шестиугольник со стороной 9 см. Найдите сторону равностороннего треугольника, вписанного в эту окружность.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Дано:

  • Правильный шестиугольник со стороной a = 9 см.
  • Окружность вписана в этот шестиугольник.
  • Равносторонний треугольник вписан в эту окружность.

Найти:

  • Сторону равностороннего треугольника (b).

Решение:

  1. Связь стороны правильного шестиугольника и радиуса вписанной окружности: В правильном шестиугольнике радиус вписанной окружности (r) равен апофеме, которая равна высоте равностороннего треугольника, на которые разбивается шестиугольник. Апофема (r) связана со стороной шестиугольника (a) формулой:
r = \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
  1. Подставим значение стороны шестиугольника:
r = \(\frac{9\sqrt{3}}{2}\) \(\text{ см}\)
  1. Связь радиуса описанной окружности (для треугольника) и стороны равностороннего треугольника: Окружность, в которую вписан равносторонний треугольник, является для него описанной окружностью. Радиус описанной окружности (R) равностороннего треугольника (b) связан формулой:
R = \(\frac{b\sqrt{3}}{3}\)
  1. Радиус вписанной в шестиугольник окружности (r) является радиусом описанной окружности для вписанного в нее треугольника (R). Таким образом, R = r.
R = \(\frac{9\sqrt{3}}{2}\)
  1. Приравняем формулы для R:
\(\frac{b\sqrt{3}}{3}\) = \(\frac{9\sqrt{3}}{2}\)
  1. Решим уравнение относительно b:
b\(\sqrt{3}\) = \(\frac{9\sqrt{3}}{2}\) \(\times\) 3
b\(\sqrt{3}\) = \(\frac{27\sqrt{3}}{2}\)
b = \(\frac{27\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\)
b = \(\frac{27}{2}\)
b = 13.5 \(\text{ см}\)

Ответ: 13.5 см

ГДЗ по фото 📸

Похожие