458. Найдите значение х, если: a) x = √ 11 +6√2 + √11-6√2; б) x = √12-2√11 - √12+ 2√11.

a) $$x = \sqrt{11 + 6\sqrt{2}} + \sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$$

Представим подкоренные выражения в виде квадрата суммы и разности. Заметим, что $$6\sqrt{2} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2}$$. Тогда $$11 = 9 + 2 = 3^2 + (\sqrt{2})^2$$.

$$x = \sqrt{3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2} + \sqrt{3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}$$

Свернем выражения под корнями, используя формулы квадрата суммы и разности: $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ и $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

$$x = \sqrt{(3 + \sqrt{2})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{2})^2}$$

Извлечем квадратные корни. Так как $$3 > \sqrt{2}$$, то модуль можно опустить.

$$x = (3 + \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2})$$ $$x = 3 + \sqrt{2} + 3 - \sqrt{2}$$ $$x = 6$$

Ответ: $$x = 6$$

б) $$x = \sqrt{12 - 2\sqrt{11}} - \sqrt{12 + 2\sqrt{11}}$$

Представим подкоренные выражения в виде квадрата суммы и разности. Заметим, что $$2\sqrt{11} = 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{11}$$. Тогда $$12 = 11 + 1 = (\sqrt{11})^2 + 1^2$$.

$$x = \sqrt{(\sqrt{11})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{11} + 1^2} - \sqrt{(\sqrt{11})^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{11} + 1^2}$$

Свернем выражения под корнями, используя формулы квадрата суммы и разности: $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ и $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

$$x = \sqrt{(\sqrt{11} - 1)^2} - \sqrt{(\sqrt{11} + 1)^2}$$

Извлечем квадратные корни. Так как $$\sqrt{11} > 1$$, то модуль можно опустить.

$$x = (\sqrt{11} - 1) - (\sqrt{11} + 1)$$ $$x = \sqrt{11} - 1 - \sqrt{11} - 1$$ $$x = -2$$

Ответ: $$x = -2$$