Найдите частное q(x) и остаток r(x) от деления многочлена F(x) на многочлен G(x). Запишите равенство F(x) = q(x)G(x) + r(x) и убедитесь в его справедливости, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые в правой части. a) $$F(x) = 3x^6 - 5x^3 - \sqrt{7}x^2 - 5x + \frac{3}{4}, G(x) = x^3$$. б) $$F(x) = x^6 - x^5 + 12, G(x) = 2x^5 + 1$$. в) $$F(x) = 3x^4 - x^3 - 10x^2 + 68x + 11, G(x) = x^2 + 2x$$.

Решим каждое уравнение по отдельности. а) $$F(x) = 3x^6 - 5x^3 - \sqrt{7}x^2 - 5x + \frac{3}{4}, G(x) = x^3$$. Разделим $$F(x)$$ на $$G(x)$$ столбиком:

        3x^3   -5       
      _________________
x^3 | 3x^6 +0x^5 +0x^4 -5x^3 -√7x^2 -5x +3/4
      -(3x^6 +0x^5 +0x^4)
      _________________
             0x^6 +0x^5 +0x^4 -5x^3 -√7x^2 -5x +3/4
             -(-5x^3)
             _________________
                      -√7x^2 -5x +3/4

Таким образом, частное $$q(x) = 3x^3 - 5$$, а остаток $$r(x) = -\sqrt{7}x^2 - 5x + \frac{3}{4}$$. Проверим равенство $$F(x) = q(x)G(x) + r(x)$$: $$3x^6 - 5x^3 - \sqrt{7}x^2 - 5x + \frac{3}{4} = (3x^3 - 5)(x^3) + (-\sqrt{7}x^2 - 5x + \frac{3}{4})$$ $$3x^6 - 5x^3 - \sqrt{7}x^2 - 5x + \frac{3}{4} = 3x^6 - 5x^3 - \sqrt{7}x^2 - 5x + \frac{3}{4}$$ Равенство выполняется. б) $$F(x) = x^6 - x^5 + 12, G(x) = 2x^5 + 1$$. Разделим $$F(x)$$ на $$G(x)$$ столбиком:

        1/2 x -1/2
      _________________
2x^5+1 | x^6 - x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 12
      -(x^6        + 1/2x)
      _________________
           -x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 - 1/2x + 12
           -(-x^5         -1/2)
           _________________
               0 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 -1/2x + 25/2

Таким образом, частное $$q(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$$, а остаток $$r(x) = -\frac{1}{2}x + \frac{25}{2}$$. Проверим равенство $$F(x) = q(x)G(x) + r(x)$$: $$x^6 - x^5 + 12 = (\frac{1}{2}x - \frac{1}{2})(2x^5 + 1) + (-\frac{1}{2}x + \frac{25}{2})$$ $$x^6 - x^5 + 12 = x^6 + \frac{1}{2}x - x^5 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}x + \frac{25}{2}$$ $$x^6 - x^5 + 12 = x^6 - x^5 + \frac{24}{2}$$ $$x^6 - x^5 + 12 = x^6 - x^5 + 12$$ Равенство выполняется. в) $$F(x) = 3x^4 - x^3 - 10x^2 + 68x + 11, G(x) = x^2 + 2x$$. Разделим $$F(x)$$ на $$G(x)$$ столбиком:

        3x^2 -7x +4
      _________________
x^2+2x | 3x^4 - x^3 - 10x^2 + 68x + 11
      -(3x^4 +6x^3)
      _________________
            -7x^3 - 10x^2 + 68x + 11
            -(-7x^3 -14x^2)
            _________________
                    4x^2 + 68x + 11
                    -(4x^2 +8x)
                    _________________
                             60x + 11

Таким образом, частное $$q(x) = 3x^2 - 7x + 4$$, а остаток $$r(x) = 60x + 11$$. Проверим равенство $$F(x) = q(x)G(x) + r(x)$$: $$3x^4 - x^3 - 10x^2 + 68x + 11 = (3x^2 - 7x + 4)(x^2 + 2x) + (60x + 11)$$ $$3x^4 - x^3 - 10x^2 + 68x + 11 = 3x^4 + 6x^3 - 7x^3 - 14x^2 + 4x^2 + 8x + 60x + 11$$ $$3x^4 - x^3 - 10x^2 + 68x + 11 = 3x^4 - x^3 - 10x^2 + 68x + 11$$ Равенство выполняется. Ответ: а) $$q(x) = 3x^3 - 5$$, $$r(x) = -\sqrt{7}x^2 - 5x + \frac{3}{4}$$ б) $$q(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$$, $$r(x) = -\frac{1}{2}x + \frac{25}{2}$$ в) $$q(x) = 3x^2 - 7x + 4$$, $$r(x) = 60x + 11$$