20. Напишите все делители числа к, если к=2·2·3·7. 21. Найдите все общие делители чисел 30 и 45. 22. Найдите наибольший общий делитель чисел с и d, если c=2·3·3·5·7·7 и d=2·3·7·7·11. 23. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 231 и 273; б) 49 и 48; в) 150, 375 и 600. 24. Докажите, что числа 35 и 72 взаимно простые. 25. Найдите наибольший общий делитель чисел 7425 и 12 375. 26. Запишите два простых числа у, которые удовлетворяют неравенству 17 <y<24. 27. Докажите, что 209 и 171 не взаимно простые. 28. На станции стоят три пассажирских поезда: в первом 418 мест в купейных вагонах, во втором — 494, а в третьем — 456. Сколько купейных вагонов в каждом поезде, если в каждом вагоне одинаковое число мест и их число больше 20? 29. Найдите наименьшее общее кратное чисел а и ь, если a=2·2·2·3·3·5·5, b=2・2・3・3・5・5・5. 30. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 2 и 7; б) 12 и 10; в) 16 и 21; г) 110 и 160. 31. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 270, 324 и 540; б) 212, 318 и 530. 32. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 18 и 27; б) 7875 и 4725. 33. На базар привезли арбузы. Если их считать десятками, то получится целое число десятков. Если их считать дюжинам (по 12), то опять получится целое число дюжин. Сколько ар- бузов привезли на базар, если их больше 300, но меньше 400? 34. Проверьте равенство НОК $$(m, n) = \frac{m \cdot n}{НОД (m, n)}$$, если m=35, n=49. 35. Запишите в виде дроби частные 5:6, 10:15, 15:18, 25:30. Какие из полученных дробей равны? 36. Начертите координатный (числовой) луч, приняв за еди- ничный отрезок длину 24 клеток тетради. Отметьте на луче точ-

20. Разложим число k на простые множители: $$k = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$$. Делители числа 84: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84. 21. Разложим числа 30 и 45 на простые множители: $$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$$ $$45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$$ Общие делители: 1, 3, 5, 15. 22. Найдем наибольший общий делитель чисел c и d: $$c = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7$$ $$d = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 11$$ НОД(c, d) = $$2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 = 294$$. 23. Найдем наибольший общий делитель чисел: а) 231 и 273: $$231 = 3 \cdot 7 \cdot 11$$ $$273 = 3 \cdot 7 \cdot 13$$ НОД(231, 273) = $$3 \cdot 7 = 21$$. б) 49 и 48: $$49 = 7 \cdot 7$$ $$48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$$ НОД(49, 48) = 1. в) 150, 375 и 600: $$150 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$$ $$375 = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$$ $$600 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$$ НОД(150, 375, 600) = $$3 \cdot 5 \cdot 5 = 75$$. 24. Докажем, что числа 35 и 72 взаимно простые. $$35 = 5 \cdot 7$$ $$72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$$ Так как у чисел 35 и 72 нет общих простых делителей, то они взаимно простые. 25. Найдем наибольший общий делитель чисел 7425 и 12375. $$7425 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 33$$ $$12375 = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 33$$ НОД(7425, 12375) = $$3 \cdot 5 \cdot 5=75$$. 26. Запишите два простых числа y, которые удовлетворяют неравенству 17 < y < 24. Простые числа между 17 и 24: 19, 23. 27. Докажем, что 209 и 171 не взаимно простые. $$209 = 11 \cdot 19$$ $$171 = 3 \cdot 3 \cdot 19$$ Так как у чисел 209 и 171 есть общий делитель 19, то они не взаимно простые. 28. Найдем количество купейных вагонов в каждом поезде. Разложим количество мест в купейных вагонах на множители: $$418 = 2 \cdot 11 \cdot 19$$ $$494 = 2 \cdot 13 \cdot 19$$ $$456 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 19$$ Так как в каждом вагоне одинаковое число мест и их число больше 20, то в каждом вагоне 19 мест. В первом поезде $$418 \div 19 = 22$$ вагона. Во втором поезде $$494 \div 19 = 26$$ вагонов. В третьем поезде $$456 \div 19 = 24$$ вагона. 29. Найдите наименьшее общее кратное чисел a и b: $$a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$$ $$b = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$$ НОК(a, b) = $$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 4500$$. 30. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 2 и 7. НОК(2, 7) = 14. б) 12 и 10. НОК(12, 10) = 60. в) 16 и 21. НОК(16, 21) = 336. г) 110 и 160. НОК(110, 160) = 1760. 31. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 270, 324 и 540. $$270 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$$ $$324 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$$ $$540 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$$ НОК(270, 324, 540) = $$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 1620$$. б) 212, 318 и 530. $$212 = 2 \cdot 2 \cdot 53$$ $$318 = 2 \cdot 3 \cdot 53$$ $$530 = 2 \cdot 5 \cdot 53$$ НОК(212, 318, 530) = $$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 53 = 6360$$. 32. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 18 и 27. $$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$$ $$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3$$ НОК(18, 27) = $$2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 54$$. б) 7875 и 4725. $$7875 = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 3$$ $$4725 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$$ НОК(7875, 4725) = $$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7= 4725$$. 33. Найдем количество арбузов, привезенных на базар. Пусть x - количество арбузов. Так как при счете десятками и дюжинами получается целое число, то x делится на 10 и на 12. Значит, x кратно НОК(10, 12). $$10 = 2 \cdot 5$$ $$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$$ НОК(10, 12) = $$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$$. Число арбузов кратно 60. Найдем число, кратное 60, которое больше 300, но меньше 400. Это число 360. $$360 = 6 \cdot 60$$ Значит, на базар привезли 360 арбузов. 34. Проверим равенство НОК $$(m, n) = \frac{m \cdot n}{НОД (m, n)}$$, если m=35, n=49. $$m = 35 = 5 \cdot 7$$ $$n = 49 = 7 \cdot 7$$ НОД(35, 49) = 7. НОК(35, 49) = $$5 \cdot 7 \cdot 7 = 245$$. $$ \frac{m \cdot n}{НОД (m, n)} = \frac{35 \cdot 49}{7} = \frac{1715}{7} = 245$$ Следовательно, равенство верно. 35. Запишем частные в виде дроби и сократим, где это возможно. $$5:6 = \frac{5}{6}$$ $$10:15 = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$$ $$15:18 = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}$$ $$25:30 = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$$ Равные дроби: $$ \frac{5}{6}, \frac{15}{18}, \frac{25}{30}$$. 36. Начертим координатный (числовой) луч, приняв за единичный отрезок длину 24 клеток тетради. Отметьте на луче точки.