1. На собрании пожелали выступить 5 человек – Иванов, Петров, Сидоров, Белочкин и Пеночкин. Сколькими способами можно составить список ораторов. 2. Сколько существует способов выбора трёх ребят из 4-х желающих дежурить в столовой? 3. Сколькими способами можно составить расписание на день из 4 различных уроков, если изучается 10 предметов? 4. Изменяя порядок слов: руки, мою, я, составьте всевозможные предложения. Как узнать, сколько предложений можно получить? 5. Из коллектива работников в 25 человек нужно выбрать председателя, заместителя, бухгалтера и казначея. Каким количеством способов это можно сделать? 6. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 человек, можно создать из 5 преподавателей?

1. Для составления списка ораторов нужно найти количество перестановок из 5 человек. Это можно сделать, вычислив 5! (5 факториал). $$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$$ Таким образом, список ораторов можно составить 120 способами. 2. Для выбора трёх ребят из четырёх нужно использовать сочетания. Количество сочетаний из 4 по 3 вычисляется как: $$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1)(1)} = \frac{24}{6} = 4$$ Существует 4 способа выбора трёх ребят из четырёх. 3. Для составления расписания из 4 различных уроков при изучении 10 предметов нужно использовать размещения. Количество размещений из 10 по 4 вычисляется как: $$A_{10}^4 = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$$ Расписание можно составить 5040 способами. 4. Из слов "руки, мою, я" можно составить различные предложения, меняя порядок слов. Количество таких предложений соответствует числу перестановок из 3 элементов (3!). $$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$$ Можно получить 6 предложений. 5. Для выбора председателя, заместителя, бухгалтера и казначея из 25 человек нужно использовать размещения, так как порядок важен. Количество размещений из 25 по 4 вычисляется как: $$A_{25}^4 = \frac{25!}{(25-4)!} = \frac{25!}{21!} = 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 = 303600$$ Это можно сделать 303600 способами. 6. Для создания экзаменационных комиссий из 3 человек из 5 преподавателей нужно использовать сочетания, так как порядок не важен. Количество сочетаний из 5 по 3 вычисляется как: $$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{(3!)(2 \cdot 1)} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$$ Можно создать 10 экзаменационных комиссий.