На рисунке 60 OA=OD, OB = OC, ∠1 = 74°, ∠2=36°. а) Докажите, что треугольники АОВ и DOC равны; б) найдите угол ACD.

Решение: а) Доказательство равенства треугольников AOB и DOC: 1. Условие: $$OA = OD$$ и $$OB = OC$$ (дано). 2. Угол между сторонами: $$\angle AOB = \angle 1 = 74^\circ$$ и $$\angle DOC = \angle 1 = 74^\circ$$ (как вертикальные углы). 3. Вывод: Треугольники $$AOB$$ и $$DOC$$ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). б) Нахождение угла ACD: 1. Угол OBA: В треугольнике $$AOB$$ угол $$\angle OBA$$ можно найти, зная, что сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$. $$\angle OBA = 180^\circ - \angle AOB - \angle OAB$$ Так как $$\angle AOB = 74^\circ$$, а треугольник $$AOB$$ равнобедренный ($$OA=OD$$, $$OB=OC$$ => $$AB=CD$$, $$\angle OAB = \angle ODA = \angle OCB = \angle OBC$$, и $$\angle OBA = (180^\circ - 74^\circ) div 2 = 53^\circ$$ 2. Угол OBC: $$\angle OBC = \angle 2 = 36^\circ$$ (дано). 3. Угол ABC: $$\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 53^\circ + 36^\circ = 89^\circ$$. 4. Угол BCD: Так как треугольники $$AOB$$ и $$DOC$$ равны, то $$\angle OAB = \angle ODC = \angle OCB = \angle OBA = 53^\circ$$, и $$\angle BCD = \angle OCB + \angle OCD = 36^\circ + 53^\circ = 89^\circ$$ 5. Равенство треугольников ABC и CDA: Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$. $$AB=CD$$ (т.к. треугольники $$AOB$$ и $$DOC$$ равны); $$BC = AD$$ (из условия задачи). Сторона $$AC$$ общая. Значит, треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$ равны по трем сторонам. 6. Угол CAD: Так как треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$ равны, то $$\angle BAC = \angle DCA$$ и $$\angle BCA = \angle DAC$$. Также $$\angle ACB = \angle 2 = 36^\circ$$. Тогда $$\angle ACD = \angle BCA = 36^\circ$$. Ответ: $$\angle ACD = \bf{53^\circ}$$.