143 На рисунке 81 AB=CD и BD = АС. Докажите: а) \(\angle CAD = \angle ADB\); б) \(\angle BAC = \angle CDB\). 144 На рисунке 82 AB=CD, AD = BC, BE - биссектриса угла ADC. Докажите, что: ABC, а DF - биссектриса угла ADC. а) \(\angle ABE = \angle ADF\); б) \(\triangle ABE = \triangle CDF\).

143 а) \(\angle CAD = \angle ADB\) Доказательство: Рассмотрим треугольники ABD и CDB. У них: * AB = CD (по условию) * BD = AC (по условию) * AD - общая сторона Следовательно, \(\triangle ABD = \triangle CDB\) по трем сторонам. Отсюда следует, что \(\angle CAD = \angle ADB\) как соответственные углы в равных треугольниках. б) \(\angle BAC = \angle CDB\) Доказательство: \(\angle BAC = \angle CAD - \angle BAD\) \(\angle CDB = \angle ADB - \angle ADC\) Так как \(\angle CAD = \angle ADB\) и \(\angle BAD = \angle ADC\) (из равенства треугольников ABD и CDB), то \(\angle BAC = \angle CDB\). 144 a) \(\angle ABE = \angle ADF\) Доказательство: Рассмотрим трапецию ABCD, где AB = CD и AD = BC. Так как AD = BC, трапеция ABCD является равнобедренной. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, то есть \(\angle A = \angle D\) и \(\angle B = \angle C\). Так как BE и DF - биссектрисы углов ADC и ABC соответственно, то они делят углы пополам, следовательно, \(\angle ADF = \frac{1}{2} \angle ADC\) и \(\angle ABE = \frac{1}{2} \angle ABC\). Поскольку \(\angle ADC = \angle ABC\), то \(\frac{1}{2} \angle ADC = \frac{1}{2} \angle ABC\), а значит, \(\angle ABE = \angle ADF\). б) \(\triangle ABE = \triangle CDF\) Доказательство: Рассмотрим треугольники ABE и CDF. У них: * AB = CD (по условию) * \(\angle ABE = \angle CDF\) (доказано в пункте а) * \(\angle BAE = \angle DCF\) (так как \(\angle A = \angle D\) как углы при основании равнобедренной трапеции) Следовательно, \(\triangle ABE = \triangle CDF\) по стороне и двум прилежащим к ней углам.