Контрольная работа по теме «Перпендикулярность в пространстве» Вариант 9 № 1 Перекладина длиной 10 м. своими концами лежит на двух вертикальных столбах высотой 11 м. и 17 м. Каково расстояние между основаниями столбов. № 2 Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 29 см. и 27 см. Сумма проекций наклонных равна 28 см. Найдите проекции наклонных. № 3 Из вершины С квадрата ABCD проведен перпендикуляр СМ к плоскости квадрата. Вычислите площадь треугольника МАВ, если МС=7 см., AD = 4√2 № 4 Точка Е находится на расстоянии 16 см. от плоскости. Найдите длину наклонной, проведенной из этой точки к плоскости под углом 30°.

№1 Расстояние между основаниями столбов можно найти, используя теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это перекладина длиной 10 м, один катет — разница в высоте столбов (17 м - 11 м = 6 м), а другой катет — искомое расстояние между основаниями столбов. Пусть x - расстояние между основаниями столбов. Тогда: $$x = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$ Ответ: Расстояние между основаниями столбов равно 8 м. №2 Пусть проекции наклонных равны x и y. Из условия задачи известно, что: x + y = 28 Длины наклонных равны 29 см и 27 см. Также, расстояние от точки до плоскости (высота) является перпендикуляром, обозначим его h. Тогда, по теореме Пифагора для каждой наклонной: $$h^2 + x^2 = 29^2$$ $$h^2 + y^2 = 27^2$$ Вычтем из первого уравнения второе: $$x^2 - y^2 = 29^2 - 27^2$$ $$(x - y)(x + y) = (29 - 27)(29 + 27)$$ $$(x - y) cdot 28 = 2 cdot 56$$ $$x - y = \frac{2 \cdot 56}{28} = 4$$ Теперь у нас есть система уравнений: $$x + y = 28$$ $$x - y = 4$$ Сложим эти уравнения: $$2x = 32$$ $$x = 16$$ Подставим x в первое уравнение: $$16 + y = 28$$ $$y = 12$$ Ответ: Проекции наклонных равны 16 см и 12 см. №3 Пусть сторона квадрата равна $$a = 4\sqrt{2}$$ см. Тогда площадь квадрата равна $$a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$$ см$$^2$$. Площадь треугольника MAB можно найти как половину произведения основания на высоту. Основанием является сторона квадрата AB, а высотой является расстояние от точки M до стороны AB. Так как CM перпендикулярна плоскости квадрата, то MO также перпендикулярна AB (где O - центр квадрата). Тогда MO можно найти по теореме Пифагора из треугольника MOC: $$MO = \sqrt{MC^2 + OC^2}$$ OC - это половина диагонали квадрата. Диагональ квадрата равна $$a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8$$ см. Тогда OC = 4 см. $$MO = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}$$ Площадь треугольника MAB равна: $$S_{MAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MO = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{65} = 2\sqrt{130}$$ Ответ: Площадь треугольника MAB равна $$2\sqrt{130}$$ см$$^2$$. №4 Пусть E - точка, находящаяся на расстоянии 16 см от плоскости. Пусть A - основание перпендикуляра из E к плоскости, и EA = 16 см. Пусть EB - наклонная, проведенная из точки E к плоскости под углом 30°. Тогда треугольник EAB - прямоугольный, угол EBA = 30°, а EA - катет, противолежащий этому углу. В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В данном случае: $$sin(30°) = \frac{EA}{EB}$$ $$sin(30°) = \frac{1}{2}$$ $$EB = \frac{EA}{sin(30°)} = \frac{16}{\frac{1}{2}} = 32$$ Ответ: Длина наклонной равна 32 см.