Контрольная работа по теме "Уравнения с одной переменной". 2 вариант. 1. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней: a) 7 + 8x = -2x-5; б) (x-1)(x+1)=2(x²-3). 2. Решите уравнение. a) x³-64x=0; б) 16x³ - 32x² - x + 2 = 0. 3. Решите биквадратное уравнение: 5x⁴ +7x² - 12 = 0; 4. Решите дробное рациональное уравнение: 2 + 8/(x-3) = 4/x 5. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость одного на 10 км/ч больше скорости второго, поэтому он приехал на 1 час раньше. Найти скорость первого и второго автомобилей, если расстояние между городами 50 км

Решим данные уравнения. 1. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней: а) 7 + 8x = -2x - 5 Перенесем слагаемые с x в левую часть, а числа - в правую: $$8x + 2x = -5 - 7$$ $$10x = -12$$ $$x = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5} = -1.2$$ Ответ: -1.2 б) (x-1)(x+1) = 2(x² - 3) Раскроем скобки: $$x^2 - 1 = 2x^2 - 6$$ Перенесем слагаемые с x² в правую часть, а числа - в левую: $$-1 + 6 = 2x^2 - x^2$$ $$x^2 = 5$$ $$x = \pm \sqrt{5}$$ Поскольку требуется меньший из корней, то это $$-\sqrt{5}$$. Ответ: $$-\sqrt{5}$$ 2. Решите уравнение. а) x³ - 64x = 0 Вынесем x за скобки: $$x(x^2 - 64) = 0$$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $$x = 0$$ или $$x^2 - 64 = 0$$ $$x^2 = 64$$ $$x = \pm 8$$ Корни уравнения: 0, 8, -8. б) 16x³ - 32x² - x + 2 = 0 Сгруппируем слагаемые: $$(16x³ - 32x²) + (-x + 2) = 0$$ Вынесем общий множитель из каждой группы: $$16x²(x - 2) - 1(x - 2) = 0$$ $$(16x² - 1)(x - 2) = 0$$ Разложим разность квадратов: $$(4x - 1)(4x + 1)(x - 2) = 0$$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $$4x - 1 = 0$$ или $$4x + 1 = 0$$ или $$x - 2 = 0$$ $$4x = 1$$ или $$4x = -1$$ или $$x = 2$$ $$x = \frac{1}{4}$$ $$x = -\frac{1}{4}$$ $$x = 2$$ Корни уравнения: 1/4, -1/4, 2. 3. Решите биквадратное уравнение: 5x⁴ + 7x² - 12 = 0 Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид: $$5t^2 + 7t - 12 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 49 + 240 = 289$$ $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{289}}{2 \cdot 5} = \frac{-7 + 17}{10} = \frac{10}{10} = 1$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{289}}{2 \cdot 5} = \frac{-7 - 17}{10} = \frac{-24}{10} = -2.4$$ Вернемся к замене: $$x^2 = 1$$ или $$x^2 = -2.4$$ $$x = \pm 1$$ Второе уравнение не имеет решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Ответ: $$x = \pm 1$$ 4. Решите дробное рациональное уравнение: 2 + 8/(x-3) = 4/x Приведем к общему знаменателю: $$2 + \frac{8}{x-3} = \frac{4}{x}$$ $$2 \cdot \frac{x(x-3)}{x(x-3)} + \frac{8x}{x(x-3)} = \frac{4(x-3)}{x(x-3)}$$ $$2x(x-3) + 8x = 4(x-3)$$ $$2x^2 - 6x + 8x = 4x - 12$$ $$2x^2 + 2x = 4x - 12$$ $$2x^2 - 2x + 12 = 0$$ $$x^2 - x + 6 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$$ Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Ответ: уравнение не имеет решений. 5. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость одного на 10 км/ч больше скорости второго, поэтому он приехал на 1 час раньше. Найти скорость первого и второго автомобилей, если расстояние между городами 50 км Пусть скорость первого автомобиля x км/ч, тогда скорость второго (x - 10) км/ч. Время, которое первый автомобиль затратил на путь, равно 50/x ч, а время, которое второй автомобиль затратил на путь, равно 50/(x-10) ч. Из условия задачи известно, что первый автомобиль приехал на 1 час раньше, поэтому: $$\frac{50}{x-10} - \frac{50}{x} = 1$$ Приведем к общему знаменателю: $$\frac{50x - 50(x-10)}{x(x-10)} = 1$$ $$\frac{50x - 50x + 500}{x^2 - 10x} = 1$$ $$\frac{500}{x^2 - 10x} = 1$$ $$x^2 - 10x = 500$$ $$x^2 - 10x - 500 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-500) = 100 + 2000 = 2100$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{2100}}{2} = \frac{10 + 10\sqrt{21}}{2} = 5 + 5\sqrt{21} \approx 27.91$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{2100}}{2} = \frac{10 - 10\sqrt{21}}{2} = 5 - 5\sqrt{21} \approx -17.91$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то скорость первого автомобиля примерно равна 27.91 км/ч, а скорость второго автомобиля примерно равна 27.91 - 10 = 17.91 км/ч. Ответ: скорость первого автомобиля примерно 27.91 км/ч, скорость второго автомобиля примерно 17.91 км/ч.