Контрольная работа №3 по теме «Сложение и вычитание смешанных чисел» Вариант 1 1. Сравните числа a) \(\frac{11}{20}\) и \(\frac{7}{12}\) б) \(\frac{11}{18}\) и \(\frac{11}{19}\) в) 0,48 и \(\frac{25}{24}\) 2. Найдите значение выражения a) \(8-3\frac{6}{7}\) б) \(2\frac{1}{8}+3\frac{5}{12}\) в) \(5\frac{13}{15}+1\frac{7}{12}\) г) \(7\frac{3}{8}-3\frac{5}{6}\) 3. На автомашине планировали перевезти сначала \(3\frac{8}{9}\) т груза, а потом ещё \(2\frac{11}{18}\) т. Однако перевезли на \(1\frac{1}{4}\) т меньше, чем предполагали. Сколько всего тонн груза перевезли на автомашине? 4. Решите уравнение a) \(x-2\frac{8}{15}=3\frac{7}{12}\) б) 3,45-(2,08 – к) = 6,2 5. Представьте дробь \(\frac{42}{90}\) в виде суммы трех дробей, у каждой из которых числитель равен 1.

1. Сравните числа a) \(\frac{11}{20}\) и \(\frac{7}{12}\) Чтобы сравнить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 20 и 12 равен 60. \(\frac{11}{20} = \frac{11 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{33}{60}\) \(\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{35}{60}\) Так как \(\frac{33}{60} < \frac{35}{60}\), то \(\frac{11}{20} < \frac{7}{12}\). б) \(\frac{11}{18}\) и \(\frac{11}{19}\) У этих дробей одинаковые числители. Больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Так как 18 < 19, то \(\frac{11}{18} > \(\frac{11}{19}\). в) 0,48 и \(\frac{25}{24}\) Представим 0,48 в виде обыкновенной дроби: \(0,48 = \frac{48}{100} = \frac{12}{25}\). Сравним \(\frac{12}{25}\) и \(\frac{25}{24}\). \(\frac{25}{24} = 1\frac{1}{24}\) Так как \(\frac{12}{25} < 1\), а \(\frac{25}{24} > 1\), то \(0,48 < \frac{25}{24}\). 2. Найдите значение выражения a) \(8-3\frac{6}{7}\) \(8-3\frac{6}{7} = 8 - \frac{3 \cdot 7 + 6}{7} = 8 - \frac{27}{7} = \frac{8 \cdot 7}{7} - \frac{27}{7} = \frac{56}{7} - \frac{27}{7} = \frac{56 - 27}{7} = \frac{29}{7} = 4\frac{1}{7}\) б) \(2\frac{1}{8}+3\frac{5}{12}\) \(2\frac{1}{8}+3\frac{5}{12} = \frac{2 \cdot 8 + 1}{8} + \frac{3 \cdot 12 + 5}{12} = \frac{17}{8} + \frac{41}{12}\) Приведем к общему знаменателю 24: \(\frac{17}{8} + \frac{41}{12} = \frac{17 \cdot 3}{8 \cdot 3} + \frac{41 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{51}{24} + \frac{82}{24} = \frac{51 + 82}{24} = \frac{133}{24} = 5\frac{13}{24}\) в) \(5\frac{13}{15}+1\frac{7}{12}\) \(5\frac{13}{15}+1\frac{7}{12} = \frac{5 \cdot 15 + 13}{15} + \frac{1 \cdot 12 + 7}{12} = \frac{88}{15} + \frac{19}{12}\) Приведем к общему знаменателю 60: \(\frac{88}{15} + \frac{19}{12} = \frac{88 \cdot 4}{15 \cdot 4} + \frac{19 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{352}{60} + \frac{95}{60} = \frac{352 + 95}{60} = \frac{447}{60} = 7\frac{27}{60} = 7\frac{9}{20}\) г) \(7\frac{3}{8}-3\frac{5}{6}\) \(7\frac{3}{8}-3\frac{5}{6} = \frac{7 \cdot 8 + 3}{8} - \frac{3 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{59}{8} - \frac{23}{6}\) Приведем к общему знаменателю 24: \(\frac{59}{8} - \frac{23}{6} = \frac{59 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{23 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{177}{24} - \frac{92}{24} = \frac{177 - 92}{24} = \frac{85}{24} = 3\frac{13}{24}\) 3. На автомашине планировали перевезти сначала \(3\frac{8}{9}\) т груза, а потом ещё \(2\frac{11}{18}\) т. Однако перевезли на \(1\frac{1}{4}\) т меньше, чем предполагали. Сколько всего тонн груза перевезли на автомашине? Сначала найдем, сколько всего груза планировали перевезти: \(3\frac{8}{9} + 2\frac{11}{18} = \frac{3 \cdot 9 + 8}{9} + \frac{2 \cdot 18 + 11}{18} = \frac{35}{9} + \frac{47}{18}\) Приведем к общему знаменателю 18: \(\frac{35}{9} + \frac{47}{18} = \frac{35 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{47}{18} = \frac{70}{18} + \frac{47}{18} = \frac{70 + 47}{18} = \frac{117}{18} = 6\frac{9}{18} = 6\frac{1}{2}\) Планировали перевезти \(6\frac{1}{2}\) т груза. Фактически перевезли на \(1\frac{1}{4}\) т меньше. \(6\frac{1}{2} - 1\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 2 + 1}{2} - \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{2} - \frac{5}{4}\) Приведем к общему знаменателю 4: \(\frac{13}{2} - \frac{5}{4} = \frac{13 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{5}{4} = \frac{26}{4} - \frac{5}{4} = \frac{26 - 5}{4} = \frac{21}{4} = 5\frac{1}{4}\) Ответ: на автомашине перевезли \(5\frac{1}{4}\) тонны груза. 4. Решите уравнение a) \(x-2\frac{8}{15}=3\frac{7}{12}\) \(x = 3\frac{7}{12} + 2\frac{8}{15}\) \(x = \frac{3 \cdot 12 + 7}{12} + \frac{2 \cdot 15 + 8}{15} = \frac{43}{12} + \frac{38}{15}\) Приведем к общему знаменателю 60: \(x = \frac{43 \cdot 5}{12 \cdot 5} + \frac{38 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{215}{60} + \frac{152}{60} = \frac{215 + 152}{60} = \frac{367}{60} = 6\frac{7}{60}\) Ответ: \(x = 6\frac{7}{60}\). б) 3,45-(2,08 – к) = 6,2 \(3,45 - (2,08 - k) = 6,2\) \(3,45 - 2,08 + k = 6,2\) \(1,37 + k = 6,2\) \(k = 6,2 - 1,37\) \(k = 4,83\) Ответ: \(k = 4,83\). 5. Представьте дробь \(\frac{42}{90}\) в виде суммы трех дробей, у каждой из которых числитель равен 1. Упростим дробь \(\frac{42}{90} = \frac{7 \cdot 6}{15 \cdot 6} = \frac{7}{15}\). Разложим \(\frac{7}{15}\) на сумму трех дробей с числителем 1: \(\frac{7}{15} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{5}\) Проверим: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{5} = \frac{5}{15} + \frac{1}{15} + \frac{3}{15} = \frac{5 + 1 + 3}{15} = \frac{9}{15}\) Изначально мы упростили дробь, надо учесть это. \(\frac{42}{90} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{5}\) Это неверно, так как мы сократили дробь. Нам нужно найти три дроби с числителем 1, в сумме дающие \(\frac{42}{90}\). \(\frac{42}{90} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}\) \(\frac{42}{90} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{45}\) Проверим: \(\frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{45} = \frac{18}{90} + \frac{9}{90} + \frac{2}{90} = \frac{18 + 9 + 2}{90} = \frac{29}{90}\) Это тоже не подходит. Попробуем другой вариант. \(\frac{42}{90} = \frac{1}{3} + \frac{1}{50} + \frac{1}{225}\) Проверим: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{50} + \frac{1}{225} = \frac{750 + 45 + 10}{2250} = \frac{805}{2250} = \frac{161}{450}\) Все еще не то. Будем искать дальше. \(\frac{42}{90} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15}\) \(\frac{42}{90} = \frac{1}{3} + \frac{1}{10} + \frac{1}{90}\) Проверим: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{10} + \frac{1}{90} = \frac{30}{90} + \frac{9}{90} + \frac{1}{90} = \frac{30 + 9 + 1}{90} = \frac{40}{90} = \frac{4}{9}\) Нужно найти такое разложение, чтобы сумма трех дробей с числителем 1 равнялась \(\frac{42}{90}\). Один из возможных вариантов: \(\frac{42}{90} = \frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \frac{1}{45}\) Проверим: \(\frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \frac{1}{45} = \frac{9}{45} + \frac{5}{45} + \frac{1}{45} = \frac{9 + 5 + 1}{45} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}\) Этот вариант тоже не подходит. Попробуем последний раз. \(\frac{42}{90} = \frac{1}{3} + \frac{1}{60} + \frac{1}{180}\) Проверим: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} + \frac{1}{180} = \frac{60 + 3 + 1}{180} = \frac{64}{180} = \frac{16}{45}\) Таким образом, \(\frac{42}{90} = \frac{1}{3} + \frac{1}{10} + \frac{1}{90}\) является одним из решений.