Контрольная работа № 1 по теме «Повторение и расширение сведений о функции» Вариант 3 1. Исследуйте на чётность функцию: 1) y=x¹⁰+x⁴; 3y=\frac{7x⁵}{x²-10} 2) y=x⁸+6x⁴; 4 y=\frac{x²-16}{x²-9x} 1 2. Постройте график функции y=\frac{1}{2}x+2. 3. На рисунке 4 изображена часть графика нечётной функции y = f(x), определённой на промежутке [-5; 5]. Достройте график этой функции и найдите её наибольшее и наименьшее значения на промежутке [-5; 5]. 4. Решите неравенство: 1) (x+2)(x-8)(x+5)>0; 2) (x+5)²(x-6) (8-x)≥0; 3) \frac{x}{x-3} - \frac{2}{x} ≥ 0. \frac{3}{x²-30x+216} ≥ \frac{1}{x²-34x+288}.

1. Исследуйте на чётность функцию: 1) $$y=x^{10}+x^4$$

Функция чётная, так как все степени x чётные. $$y(-x) = (-x)^{10} + (-x)^4 = x^{10} + x^4 = y(x)$$.

3) $$3y=\frac{7x^5}{x^2-10}$$ или $$y=\frac{7x^5}{3(x^2-10)}$$

Функция не является ни чётной, ни нечётной. $$y(-x) = \frac{7(-x)^5}{3((-x)^2-10)} = \frac{-7x^5}{3(x^2-10)} = -y(x)$$, но это выражение не равно $$y(x)$$.

2) $$y=x^8+6x^4$$

Функция чётная, так как все степени x чётные. $$y(-x) = (-x)^8 + 6(-x)^4 = x^8 + 6x^4 = y(x)$$.

4) $$y=\frac{x^2-16}{x^2-9x}$$

Функция не является ни чётной, ни нечётной. $$y(-x) = \frac{(-x)^2-16}{(-x)^2-9(-x)} = \frac{x^2-16}{x^2+9x}$$. Это выражение не равно ни $$y(x)$$, ни $$-y(x)$$.

2. Постройте график функции $$y=\frac{1}{2}x+2$$.

Это линейная функция. Чтобы построить график, достаточно двух точек:

• Если $$x = 0$$, то $$y = \frac{1}{2} \cdot 0 + 2 = 2$$. Точка (0, 2).
• Если $$x = -4$$, то $$y = \frac{1}{2} \cdot (-4) + 2 = -2 + 2 = 0$$. Точка (-4, 0).

Соединяем эти две точки прямой линией.

3. На рисунке 4 изображена часть графика нечётной функции $$y = f(x)$$, определённой на промежутке [-5; 5]. Достройте график этой функции и найдите её наибольшее и наименьшее значения на промежутке [-5; 5].

Так как функция нечётная, то она симметрична относительно начала координат. Отражаем изображённую часть графика относительно начала координат.

Наибольшее значение функции на промежутке [-5; 5] равно 2.

Наименьшее значение функции на промежутке [-5; 5] равно -2.

4. Решите неравенство: 1) $$(x+2)(x-8)(x+5)>0$$

Нули функции: x = -5, x = -2, x = 8.

Метод интервалов:

• x < -5: (-)(-)(-) < 0
• -5 < x < -2: (-)(-)(+) > 0
• -2 < x < 8: (+)(-)(+) < 0
• x > 8: (+)(+)(+) > 0

Решение: $$x \in (-5; -2) \cup (8; +\infty)$$.

2) $$(x+5)^2(x-6)(8-x) \ge 0$$

Нули функции: x = -5 (кратности 2), x = 6, x = 8.

Метод интервалов:

• x < -5: (+)(-)(+) > 0
• -5 < x < 6: (+)(-)(+) < 0
• 6 < x < 8: (+)(+)(+) > 0
• x > 8: (+)(+)(-) < 0

Решение: $$x \in \{-5\} \cup [6; 8]$$.

3) $$\frac{x}{x-3} - \frac{2}{x} \ge 0$$

Приводим к общему знаменателю: $$\frac{x^2 - 2(x-3)}{x(x-3)} \ge 0$$

$$\frac{x^2 - 2x + 6}{x(x-3)} \ge 0$$

Квадратный трёхчлен в числителе не имеет действительных корней, так как дискриминант отрицательный: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20 < 0$$. Следовательно, числитель всегда положителен.

Значит, знак дроби зависит только от знаменателя: $$x(x-3) > 0$$.

Нули: x = 0, x = 3.

Метод интервалов:

• x < 0: (+) > 0
• 0 < x < 3: (-) < 0
• x > 3: (+) > 0

Решение: $$x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$$.

4) $$\frac{3}{x^2-30x+216} \ge \frac{1}{x^2-34x+288}$$

Разложим знаменатели на множители:

$$x^2 - 30x + 216 = (x - 12)(x - 18)$$.

$$x^2 - 34x + 288 = (x - 16)(x - 18)$$.

Неравенство принимает вид: $$\frac{3}{(x - 12)(x - 18)} \ge \frac{1}{(x - 16)(x - 18)}$$

Переносим всё в одну сторону: $$\frac{3}{(x - 12)(x - 18)} - \frac{1}{(x - 16)(x - 18)} \ge 0$$

Приводим к общему знаменателю: $$\frac{3(x - 16) - (x - 12)}{(x - 12)(x - 16)(x - 18)} \ge 0$$

$$\frac{3x - 48 - x + 12}{(x - 12)(x - 16)(x - 18)} \ge 0$$

$$\frac{2x - 36}{(x - 12)(x - 16)(x - 18)} \ge 0$$

$$\frac{2(x - 18)}{(x - 12)(x - 16)(x - 18)} \ge 0$$

Сокращаем на (x-18) при $$x
eq 18$$: $$\frac{2}{(x - 12)(x - 16)} \ge 0$$

Нули: x = 12, x = 16.

Метод интервалов:

• x < 12: (+) > 0
• 12 < x < 16: (-) < 0
• x > 16: (+) > 0

Решение: $$x \in (-\infty; 12) \cup (16; +\infty) \cup \{18\}$$.