8 класс Геометрия. Контрольная работа № 1 «Четырехугольники» Вариант 1 №1 Одна из сторон параллелограмма, а 2 раза меньше другой, а его периметр равен 72 см. Найдите стороны параллелограмма. №2 Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О, АВ=10см, BD-12см. Найдите периметр треугольника COD. №3. Один из углов ромба равен 64°. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями №4 На диагонали ВО параллелограмма ABCD отметили точки М и К так, что угол ВАМ равен углу DCK (точка М лежит между точками В и К). Докажите, что BM=DK. №5 Биссектриса угла D параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке М, ВМ:МС-4:3. Найдите периметр параллелограмма, если ВС-28см. 8 класс Геометрия •Контрольная работа № 1 «Четырехугольники» Вариант 2 №1 Одна из сторон параллелограмма на 7 см меньше другой, а его периметр равен 54см. Найдите стороны параллелограмма. №2 Диагонали прямоугольника. ABCD пересекаются в точке О, ВС=16см, АС=24см. Найдите периметр треугольника AOD. №3 Сторона ромба образует с одной из его диагоналей угол 18°. Найдите углы ромба №4 На диагонали АС параллелограмма ABCD отметили точки Е и F так, что АE=CF (точка Е лежит между точками А и F). Докажите, что ВE=DF №5 Биссектрида угла. В параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в точке К АК:KD-3:2. Найдите, периметр параллелограмма, если АВ=12см

8 класс Геометрия. Контрольная работа № 1 «Четырехугольники»

Вариант 1

1. Пусть одна сторона параллелограмма равна $$x$$ см, тогда другая сторона равна $$2x$$ см. Периметр параллелограмма равен $$2(x + 2x) = 6x$$ см. По условию периметр равен 72 см, следовательно, $$6x = 72$$, откуда $$x = 12$$. Значит, одна сторона равна 12 см, а другая 24 см.

   Ответ: стороны параллелограмма равны 12 см и 24 см.

2. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $$CO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$$ см. Так как прямоугольник, то $$\angle ABC = 90^\circ$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$$, откуда $$BC = \sqrt{BD^2 - AB^2} = \sqrt{12^2 - 10^2} = \sqrt{144 - 100} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}$$ см. Следовательно, $$CD = AB = 10$$ см. Периметр треугольника COD равен $$CO + OD + CD = 6 + 6 + 10 = 22$$ см.

   Ответ: периметр треугольника COD равен 22 см.

3. В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов. Значит, диагональ, проведенная из угла в 64°, делит его на два угла по 32°. Сторона ромба образует с этой диагональю угол 32°. Другой угол ромба равен $$180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$$. Диагональ, проведенная из этого угла, делит его на два угла по 58°. Сторона ромба образует с этой диагональю угол 58°.

   Ответ: сторона ромба образует с диагоналями углы 32° и 58°.

4. Доказательство: Рассмотрим треугольники ВАМ и DCK. По условию угол ВАМ равен углу DCK. Так как ABCD - параллелограмм, то АВ = CD и угол АВС равен углу ADC. Значит, угол АВМ равен углу CDK (как смежные с равными углами). Следовательно, треугольники ВАМ и DCK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, ВМ = DK (как соответственные элементы равных треугольников), что и требовалось доказать.
5. Пусть BM = 4x, тогда MC = 3x. Так как BC = 28 см, то $$4x + 3x = 28$$, откуда $$7x = 28$$ и $$x = 4$$. Значит, BM = 16 см, а MC = 12 см. Так как биссектриса угла D параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке М, то ABCD - ромб. Следовательно, все стороны ромба равны 28 см. Периметр ромба равен $$4 \cdot 28 = 112$$ см.

   Ответ: периметр параллелограмма равен 112 см.

Вариант 2

1. Пусть одна сторона параллелограмма равна $$x$$ см, тогда другая сторона равна $$(x + 7)$$ см. Периметр параллелограмма равен $$2(x + x + 7) = 2(2x + 7)$$ см. По условию периметр равен 54 см, следовательно, $$2(2x + 7) = 54$$, откуда $$2x + 7 = 27$$ и $$2x = 20$$, значит $$x = 10$$. Значит, одна сторона равна 10 см, а другая 17 см.

   Ответ: стороны параллелограмма равны 10 см и 17 см.

2. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$$ см, $$OD = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC = 12$$ см. Так как прямоугольник, то $$\angle ABC = 90^\circ$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора $$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{24^2 - 16^2} = \sqrt{576 - 256} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}$$ см. Следовательно, $$AD = BC = 16$$ см. Периметр треугольника AOD равен $$AO + OD + AD = 12 + 12 + 16 = 40$$ см.

   Ответ: периметр треугольника AOD равен 40 см.

3. В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов. Значит, угол между стороной и диагональю равен 18°. Пусть один угол ромба равен $$x$$, тогда $$x \div 2 = 18$$ и $$x = 36^\circ$$. Другой угол ромба равен $$180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$$.

   Ответ: углы ромба равны 36° и 144°.

4. Доказательство: Рассмотрим треугольники BЕC и DFA. По условию AE = CF, значит, BE = DF. Так как ABCD - параллелограмм, то AB = CD и угол BAC равен углу DCA. Значит, треугольники BЕC и DFA равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, BE = DF (как соответственные элементы равных треугольников), что и требовалось доказать.
5. Пусть AK = 3x, тогда KD = 2x. Так как AD = 12 см, то $$3x + 2x = 12$$, откуда $$5x = 12$$ и $$x = 2,4$$. Значит, AK = 7,2 см, а KD = 4,8 см. Так как биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в точке K, то ABCD - ромб. Следовательно, все стороны ромба равны 12 см. Периметр ромба равен $$4 \cdot 12 = 48$$ см.

   Ответ: периметр параллелограмма равен 48 см.