8 класс геометрия 1. Найти площадь квадрата, если сторона равна 5,1см. 2. Найти сторону квадрата, если площадь равна 64см² 3. Найти площадь прямоугольника, если стороны равны 3,7см и 4,8см 4. Найти сторону прямоугольника, если площадь равна 6,8см², сторона 3,4см 5. Найти площадь треугольника, если высота 7см, а основание 10см. 6. Найти основание треугольника, если площадь равна 45см², а высота 9см. 7. Найти высоту треугольника, если площадь равна 32см², основание 16см 8. Найти площадь параллелограмма, если сторона 11см, а высота, проведенная к стороне 4,5см. 9. Найти высоту параллелограмма, если площадь 31,2см², а основание 7,8см. 10. Найти сторону параллелограмма, если высота проведенная к стороне 3см, а площадь 25,5см². 11. Найти высоты параллелограмма, если площадь 24см², а смежные стороны 8см и 6см. 12. Найти стороны параллелограмма, если высоты проведенные к сторонам 4см и 7см, а площадь 56см². 13. Найти площадь ромба, если диагонали 14см и 16см. 14. Найти диагональ ромба, если площадь 320см², а вторая диагональ 18см. 15. Высота, проведенная из вершины тупого угла ромба 8см, а площадь ромба 40см². Найти периметр ромба. 16. Периметр ромба 32см, высота 6см. Найти площадь ромба. 17. Найти площадь трапеции, если основания 4см и 6см, а высота 5см. 18. Найти большее основание трапеции, если меньшее основание 6см, высота 4см, а площадь 30см² 19. Найти меньшее основание трапеции, если большее основание 8см высота 5см, а площадь 140см². 20. Найти высоту трапеции, если основания 4см, 9см, а площадь 39см². 21. Найти площадь равнобедренной трапеции, если острый угол 45°, а основания 4см и 10см. 22. Найти площадь прямоугольной трапеции, если острый угол 45°, а основания 10см и 16см. 23. Найти площадь равнобедренной трапеции, если острый угол 30°, боковая сторона 14см, а основания 8см и 10см. 24. Найти катет прямоугольного треугольника, если площадь 48см², а второй катет 8см. 25. Найти площадь прямоугольного треугольника, если гипотенуза 16см, а острый угол 30°, катет 14см.

Решим задачи по геометрии, используя известные формулы.

1. 1. Найти площадь квадрата, если сторона равна 5,1 см.

   Площадь квадрата $$S$$ равна квадрату его стороны $$a$$: $$S = a^2$$.

   Подставляем значение стороны $$a = 5.1$$ см: $$S = (5.1)^2 = 26.01$$ см².

   Ответ: Площадь квадрата равна 26.01 см².

2. 2. Найти сторону квадрата, если площадь равна 64 см².

   Сторона квадрата $$a$$ равна квадратному корню из его площади $$S$$: $$a = sqrt{S}$$.

   Подставляем значение площади $$S = 64$$ см²: $$a = sqrt{64} = 8$$ см.

   Ответ: Сторона квадрата равна 8 см.

3. 3. Найти площадь прямоугольника, если стороны равны 3,7 см и 4,8 см.

   Площадь прямоугольника $$S$$ равна произведению его сторон $$a$$ и $$b$$: $$S = a cdot b$$.

   Подставляем значения сторон $$a = 3.7$$ см и $$b = 4.8$$ см: $$S = 3.7 cdot 4.8 = 17.76$$ см².

   Ответ: Площадь прямоугольника равна 17.76 см².

4. 4. Найти сторону прямоугольника, если площадь равна 6,8 см², сторона 3,4 см.

   Пусть известны площадь прямоугольника $$S$$ и одна из его сторон $$a$$. Тогда другая сторона $$b$$ находится по формуле: $$b = rac{S}{a}$$.

   Подставляем значения $$S = 6.8$$ см² и $$a = 3.4$$ см: $$b = rac{6.8}{3.4} = 2$$ см.

   Ответ: Другая сторона прямоугольника равна 2 см.

5. 5. Найти площадь треугольника, если высота 7 см, а основание 10 см.

   Площадь треугольника $$S$$ равна половине произведения его высоты $$h$$ на основание $$a$$: $$S = rac{1}{2} cdot h cdot a$$.

   Подставляем значения $$h = 7$$ см и $$a = 10$$ см: $$S = rac{1}{2} cdot 7 cdot 10 = 35$$ см².

   Ответ: Площадь треугольника равна 35 см².

6. 6. Найти основание треугольника, если площадь равна 45 см², а высота 9 см.

   Из формулы площади треугольника $$S = rac{1}{2} cdot h cdot a$$ можно выразить основание $$a$$: $$a = rac{2S}{h}$$.

   Подставляем значения $$S = 45$$ см² и $$h = 9$$ см: $$a = rac{2 cdot 45}{9} = 10$$ см.

   Ответ: Основание треугольника равно 10 см.

7. 7. Найти высоту треугольника, если площадь равна 32 см², основание 16 см.

   Из формулы площади треугольника $$S = rac{1}{2} cdot h cdot a$$ можно выразить высоту $$h$$: $$h = rac{2S}{a}$$.

   Подставляем значения $$S = 32$$ см² и $$a = 16$$ см: $$h = rac{2 cdot 32}{16} = 4$$ см.

   Ответ: Высота треугольника равна 4 см.

8. 8. Найти площадь параллелограмма, если сторона 11 см, а высота, проведенная к стороне 4,5 см.

   Площадь параллелограмма $$S$$ равна произведению его стороны $$a$$ на высоту $$h$$, проведенную к этой стороне: $$S = a cdot h$$.

   Подставляем значения $$a = 11$$ см и $$h = 4.5$$ см: $$S = 11 cdot 4.5 = 49.5$$ см².

   Ответ: Площадь параллелограмма равна 49.5 см².

9. 9. Найти высоту параллелограмма, если площадь 31,2 см², а основание 7,8 см.

   Из формулы площади параллелограмма $$S = a cdot h$$ можно выразить высоту $$h$$: $$h = rac{S}{a}$$.

   Подставляем значения $$S = 31.2$$ см² и $$a = 7.8$$ см: $$h = rac{31.2}{7.8} = 4$$ см.

   Ответ: Высота параллелограмма равна 4 см.

10. 10. Найти сторону параллелограмма, если высота проведенная к стороне 3 см, а площадь 25,5 см².

    Из формулы площади параллелограмма $$S = a cdot h$$ можно выразить сторону $$a$$: $$a = rac{S}{h}$$.

    Подставляем значения $$S = 25.5$$ см² и $$h = 3$$ см: $$a = rac{25.5}{3} = 8.5$$ см.

    Ответ: Сторона параллелограмма равна 8.5 см.

11. 11. Найти высоты параллелограмма, если площадь 24 см², а смежные стороны 8 см и 6 см.

    Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Пусть $$h_1$$ - высота, проведенная к стороне 8 см, а $$h_2$$ - высота, проведенная к стороне 6 см. Тогда:

    $$S = a cdot h_1 = b cdot h_2$$

    Находим $$h_1$$: $$h_1 = rac{S}{a} = rac{24}{8} = 3$$ см.

    Находим $$h_2$$: $$h_2 = rac{S}{b} = rac{24}{6} = 4$$ см.

    Ответ: Высоты параллелограмма равны 3 см и 4 см.

12. 12. Найти стороны параллелограмма, если высоты проведенные к сторонам 4 см и 7 см, а площадь 56 см².

    Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Пусть $$a$$ и $$b$$ - стороны параллелограмма, $$h_a$$ и $$h_b$$ - высоты, проведенные к этим сторонам. Тогда:

    $$S = a cdot h_a = b cdot h_b$$

    Выражаем сторону $$a$$: $$a = rac{S}{h_a} = rac{56}{4} = 14$$ см.

    Выражаем сторону $$b$$: $$b = rac{S}{h_b} = rac{56}{7} = 8$$ см.

    Ответ: Стороны параллелограмма равны 14 см и 8 см.

13. 13. Найти площадь ромба, если диагонали 14 см и 16 см.

    Площадь ромба $$S$$ равна половине произведения его диагоналей $$d_1$$ и $$d_2$$: $$S = rac{1}{2} cdot d_1 cdot d_2$$.

    Подставляем значения $$d_1 = 14$$ см и $$d_2 = 16$$ см: $$S = rac{1}{2} cdot 14 cdot 16 = 112$$ см².

    Ответ: Площадь ромба равна 112 см².

14. 14. Найти диагональ ромба, если площадь 320 см², а вторая диагональ 18 см.

    Из формулы площади ромба $$S = rac{1}{2} cdot d_1 cdot d_2$$ можно выразить диагональ $$d_1$$: $$d_1 = rac{2S}{d_2}$$.

    Подставляем значения $$S = 320$$ см² и $$d_2 = 18$$ см: $$d_1 = rac{2 cdot 320}{18} = rac{320}{9} approx 35.56$$ см.

    Ответ: Первая диагональ ромба равна приблизительно 35.56 см.

15. 15. Высота, проведенная из вершины тупого угла ромба 8 см, а площадь ромба 40 см². Найти периметр ромба.

    Сначала найдем сторону ромба. Площадь ромба равна произведению стороны на высоту: $$S = a cdot h$$. Отсюда сторона ромба: $$a = rac{S}{h} = rac{40}{8} = 5$$ см.

    Периметр ромба равен $$4a = 4 cdot 5 = 20$$ см.

    Ответ: Периметр ромба равен 20 см.

16. 16. Периметр ромба 32 см, высота 6 см. Найти площадь ромба.

    Сначала найдем сторону ромба: $$a = rac{P}{4} = rac{32}{4} = 8$$ см.

    Площадь ромба равна произведению стороны на высоту: $$S = a cdot h = 8 cdot 6 = 48$$ см².

    Ответ: Площадь ромба равна 48 см².

17. 17. Найти площадь трапеции, если основания 4 см и 6 см, а высота 5 см.

    Площадь трапеции $$S$$ равна полусумме оснований $$a$$ и $$b$$, умноженной на высоту $$h$$: $$S = rac{a + b}{2} cdot h$$.

    Подставляем значения $$a = 4$$ см, $$b = 6$$ см и $$h = 5$$ см: $$S = rac{4 + 6}{2} cdot 5 = 25$$ см².

    Ответ: Площадь трапеции равна 25 см².

18. 18. Найти большее основание трапеции, если меньшее основание 6 см, высота 4 см, а площадь 30 см².

    Площадь трапеции равна: $$S = rac{(a+b)}{2} cdot h$$, где $$a$$ и $$b$$ - основания, а $$h$$ - высота. Нам нужно найти большее основание, то есть $$b$$. Выразим его из формулы:

    $$b = rac{2S}{h} - a$$

    Подставим известные значения: $$b = rac{2 cdot 30}{4} - 6 = rac{60}{4} - 6 = 15 - 6 = 9$$ см.

    Ответ: Большее основание трапеции равно 9 см.

19. 19. Найти меньшее основание трапеции, если большее основание 8 см высота 5 см, а площадь 140 см².

    Используем формулу для площади трапеции: $$S = rac{(a+b)}{2} cdot h$$, где $$a$$ и $$b$$ - основания, а $$h$$ - высота. Нам нужно найти меньшее основание, то есть $$a$$. Выразим его из формулы:

    $$a = rac{2S}{h} - b$$

    Подставим известные значения: $$a = rac{2 cdot 140}{5} - 8 = rac{280}{5} - 8 = 56 - 8 = 48$$ см.

    Ответ: Меньшее основание трапеции равно 48 см.

20. 20. Найти высоту трапеции, если основания 4 см, 9 см, а площадь 39 см².

    Площадь трапеции равна: $$S = rac{(a+b)}{2} cdot h$$, где $$a$$ и $$b$$ - основания, а $$h$$ - высота. Нам нужно найти высоту, то есть $$h$$. Выразим ее из формулы:

    $$h = rac{2S}{a+b}$$

    Подставим известные значения: $$h = rac{2 cdot 39}{4+9} = rac{78}{13} = 6$$ см.

    Ответ: Высота трапеции равна 6 см.

21. 21. Найти площадь равнобедренной трапеции, если острый угол 45°, а основания 4 см и 10 см.

    Площадь трапеции $$S = rac{a+b}{2} cdot h$$, где $$a$$ и $$b$$ - основания, $$h$$ - высота.

    В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины меньшего основания, отсекает прямоугольный треугольник с углом 45°. Разность оснований $$10 - 4 = 6$$ см. Высота равна половине этой разности, так как угол 45°: $$h = rac{6}{2} = 3$$ см.

    Теперь можно найти площадь: $$S = rac{4+10}{2} cdot 3 = rac{14}{2} cdot 3 = 7 cdot 3 = 21$$ см².

    Ответ: Площадь трапеции равна 21 см².

22. 22. Найти площадь прямоугольной трапеции, если острый угол 45°, а основания 10 см и 16 см.

    В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, и она является высотой. Так как острый угол 45°, то вторая боковая сторона является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного высотой и разностью оснований. Разность оснований $$16 - 10 = 6$$ см. Высота равна разности оснований, так как угол 45°: $$h = 6$$ см.

    Теперь можно найти площадь: $$S = rac{10+16}{2} cdot 6 = rac{26}{2} cdot 6 = 13 cdot 6 = 78$$ см².

    Ответ: Площадь трапеции равна 78 см².

23. 23. Найти площадь равнобедренной трапеции, если острый угол 30°, боковая сторона 14 см, а основания 8 см и 10 см.

    В равнобедренной трапеции опустим высоту из вершины меньшего основания. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 14 см и острым углом 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, то есть высота равна половине боковой стороны: $$h = rac{14}{2} = 7$$ см.

    Площадь трапеции: $$S = rac{8+10}{2} cdot 7 = rac{18}{2} cdot 7 = 9 cdot 7 = 63$$ см².

    Ответ: Площадь трапеции равна 63 см².

24. 24. Найти катет прямоугольного треугольника, если площадь 48 см², а второй катет 8 см.

    Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $$S = rac{1}{2} cdot a cdot b$$, где $$a$$ и $$b$$ - катеты.

    Нам нужно найти один из катетов, пусть это будет $$a$$. Выразим его из формулы: $$a = rac{2S}{b}$$.

    Подставим известные значения: $$a = rac{2 cdot 48}{8} = rac{96}{8} = 12$$ см.

    Ответ: Катет равен 12 см.

25. 25. Найти площадь прямоугольного треугольника, если гипотенуза 16 см, а острый угол 30°, катет 14 см.

    У нас есть гипотенуза $$c = 16$$ см и острый угол $$30^circ$$. Один из катетов равен 14 см. Обозначим этот катет как $$a = 14$$ см. Другой катет можно найти, используя определение синуса угла $$30^circ$$: $$ sin(30^circ) = rac{b}{c} $$ Так как $$ sin(30^circ) = rac{1}{2} $$, то: $$ rac{1}{2} = rac{b}{16} $$ $$ b = 8 $$ Теперь, когда известны оба катета, можно найти площадь: $$ S = rac{1}{2} cdot a cdot b = rac{1}{2} cdot 14 cdot 8 = 56 $$ Ответ: Площадь равна 56 см².