15. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 8. Найдите гипотенузу этого треугольника. 16. Четырёхугольник АBCD вписан в окружность. Угол АВС равен 132°, угол CAD равен 80°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. 17. Площадь параллелограмма равна 75, а две его стороны равны 15 и 25. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту. 18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треуголь- ник. Найдите его площадь.

15. Применим теорему Пифагора: $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$, где $$a$$ и $$b$$ - катеты, $$c$$ - гипотенуза. Подставим значения: $$c = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$$. Ответ: 17 16. Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность, то \(\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ\). Отсюда \(\angle ADC = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ\). Угол \(\angle CAD = 80^\circ\) опирается на дугу CD. Угол \(\angle CBD\) также опирается на дугу CD, следовательно, \(\angle CBD = \angle CAD = 80^\circ\). Угол \(\angle ADB = \angle ACB\) (как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AB). Рассмотрим треугольник ADC: \(\angle ACD = 180^\circ - (80^\circ + 48^\circ) = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ\). Тогда \(\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 132^\circ - 80^\circ = 52^\circ\). Другой способ решения: \(\angle ABD = \angle ACD\) (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AD), \(\angle ACD = 180^\circ - \angle CAD - \angle ADC = 180^\circ - 80^\circ - 48^\circ = 52^\circ\). Ответ: 52 17. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Пусть $$h_1$$ и $$h_2$$ - высоты, проведенные к сторонам 15 и 25 соответственно. Тогда: * $$S = 15 \cdot h_1 = 75$$, отсюда $$h_1 = \frac{75}{15} = 5$$. * $$S = 25 \cdot h_2 = 75$$, отсюда $$h_2 = \frac{75}{25} = 3$$. Большая высота равна 5. Ответ: 5 18. По формуле Пика: $$S = В + \frac{\Gamma}{2} - 1$$, где $$В$$ - количество целых точек внутри фигуры, а $$\Gamma$$ - количество целых точек на границе фигуры. В данном случае: $$В = 1$$, $$\Gamma = 6$$. $$S = 1 + \frac{6}{2} - 1 = 1 + 3 - 1 = 3$$. Ответ: 3