К-2 Вариант 2 № 1. Найдите область определения функции: a) y = 6x⁵ - 3x² - 1; б) y = 1 5x² - 2x - 3 в) у = √3-2x. № 2. Определите, является ли функция у = f(x) чётной или нечёт- ной, если: a) f(x) = 2x³ - 5x; б) f(x) = 2 x² в) f(x) = √5x + 1. № 3. Постройте график функции у = x²-x-2. С помощью гра- фика найдите: а) значение у при х = 1,5; б) значения х, при которых у = 3; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежуток, на котором функция убывает; д) множество значений функции. № 4. Найдите, при каких значениях а наименьшее значение функ- ции у-х² + 6x + а равно 5.

Решение: №1 a) $$y = 6x^5 - 3x^2 - 1$$. Область определения функции - все действительные числа, так как это многочлен. $$x \in (-\infty; +\infty)$$ б) $$y = \frac{1}{5x^2 - 2x - 3}$$. Область определения функции - все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Найдем эти значения: $$5x^2 - 2x - 3 = 0$$ $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$$ $$x_1 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 + 8}{10} = 1$$ $$x_2 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 - 8}{10} = -0.6$$ Область определения: $$x \in (-\infty; -0.6) \cup (-0.6; 1) \cup (1; +\infty)$$ в) $$y = \sqrt{3 - 2x}$$. Область определения функции - все действительные числа, при которых подкоренное выражение неотрицательно: $$3 - 2x \geq 0$$ $$2x \leq 3$$ $$x \leq 1.5$$ Область определения: $$x \in (-\infty; 1.5]$$ №2 а) $$f(x) = 2x^3 - 5x$$ Проверим функцию на четность: $$f(-x) = 2(-x)^3 - 5(-x) = -2x^3 + 5x = -(2x^3 - 5x) = -f(x)$$. Функция является нечетной. б) $$f(x) = \frac{2}{x^2}$$ Проверим функцию на четность: $$f(-x) = \frac{2}{(-x)^2} = \frac{2}{x^2} = f(x)$$. Функция является четной. в) $$f(x) = \sqrt{5x + 1}$$ Проверим функцию на четность: $$f(-x) = \sqrt{5(-x) + 1} = \sqrt{-5x + 1}$$. Функция не является ни четной, ни нечетной. №3 График функции $$y = x^2 - x - 2$$ является параболой. Найдем координаты вершины параболы: $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0.5$$ $$y_в = (0.5)^2 - 0.5 - 2 = 0.25 - 0.5 - 2 = -2.25$$ Вершина параболы: (0.5; -2.25) Нули функции: $$x^2 - x - 2 = 0$$ $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$ $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1$$ Нули функции: x = 2 и x = -1 a) Значение y при x = 1.5: $$y = (1.5)^2 - 1.5 - 2 = 2.25 - 1.5 - 2 = -1.25$$ б) Значения x, при которых y = 3: $$x^2 - x - 2 = 3$$ $$x^2 - x - 5 = 0$$ $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 1 + 20 = 21$$ $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$$ $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$$ в) Нули функции: x = -1 и x = 2. Промежутки знакопостоянства: * y > 0 при $$x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$$ * y < 0 при $$x \in (-1; 2)$$ г) Промежуток, на котором функция убывает: $$x \in (-\infty; 0.5]$$ д) Множество значений функции: $$y \in [-2.25; +\infty)$$ №4 Найдем вершину параболы $$y = -x^2 + 6x + a$$: $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$$ $$y_в = -(3)^2 + 6 \cdot 3 + a = -9 + 18 + a = 9 + a$$ По условию, наибольшее значение функции равно 5, то есть $$y_в = 5$$: $$9 + a = 5$$ $$a = 5 - 9$$ $$a = -4$$ Найдите, при каких значениях а наибольшее значение функции y-х² + 6x + а равно 5. $$y = -x^2 + 6x + a = 5$$, то a = -4.