4. Известно, что √7 - с + √с - 2 = 3. Найдите значение выражения √(7 - c)(c – 2). 5. Упростите выражение: 1) √19+8√3; 2) √a+12√a-36. 6. Решите уравнение √x + 18 + 8√x + 2 + √x + 27-10√x + 2 = 9.

4. Дано: $$\sqrt{7-c} + \sqrt{c-2} = 3$$. Нужно найти значение выражения $$\sqrt{(7-c)(c-2)}$$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$$(\sqrt{7-c} + \sqrt{c-2})^2 = 3^2$$ $$(7-c) + 2\sqrt{(7-c)(c-2)} + (c-2) = 9$$ $$5 + 2\sqrt{(7-c)(c-2)} = 9$$ $$2\sqrt{(7-c)(c-2)} = 4$$ $$\sqrt{(7-c)(c-2)} = 2$$

Ответ: значение выражения равно 2.

5. Упростим выражения:

1) $$\sqrt{19 + 8\sqrt{3}}$$. Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата: $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$.

$$19 + 8\sqrt{3} = 16 + 3 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (4 + \sqrt{3})^2$$

Тогда $$\sqrt{19 + 8\sqrt{3}} = \sqrt{(4 + \sqrt{3})^2} = |4 + \sqrt{3}| = 4 + \sqrt{3}$$.

Ответ: $$4 + \sqrt{3}$$.

2) $$\sqrt{a + 12\sqrt{a} - 36}$$. Здесь, видимо, опечатка, так как выражение под корнем должно быть полным квадратом. Предположим, что выражение выглядит как $$\sqrt{a + 12\sqrt{a} + 36}$$.

Тогда $$\sqrt{a + 12\sqrt{a} + 36} = \sqrt{(\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 6 + 6^2} = \sqrt{(\sqrt{a} + 6)^2} = |\sqrt{a} + 6| = \sqrt{a} + 6$$.

Если же в условии $$\sqrt{a + 12\sqrt{a} - 36}$$, то это выражение не упрощается до красивого вида.

6. Решим уравнение $$\sqrt{x + 18 + 8\sqrt{x+2}} + \sqrt{x + 27 - 10\sqrt{x+2}} = 9$$.

Заметим, что $$\sqrt{x+2}$$ присутствует в обоих корнях. Сделаем замену $$t = \sqrt{x+2}$$, тогда $$t^2 = x+2$$, и $$x = t^2 - 2$$.

Перепишем уравнение через t:

$$\sqrt{t^2 - 2 + 18 + 8t} + \sqrt{t^2 - 2 + 27 - 10t} = 9$$ $$\sqrt{t^2 + 8t + 16} + \sqrt{t^2 - 10t + 25} = 9$$ $$\sqrt{(t+4)^2} + \sqrt{(t-5)^2} = 9$$ $$|t+4| + |t-5| = 9$$

Рассмотрим три случая:

1) Если $$t < -4$$, то $$-(t+4) - (t-5) = 9$$; $$-t-4-t+5 = 9$$; $$-2t+1 = 9$$; $$-2t = 8$$; $$t = -4$$. Но это не удовлетворяет условию $$t < -4$$, поэтому здесь решений нет.

2) Если $$-4 \le t \le 5$$, то $$t+4 - (t-5) = 9$$; $$t+4-t+5 = 9$$; $$9 = 9$$. Это значит, что любое t из этого интервала является решением. То есть, $$-4 \le \sqrt{x+2} \le 5$$.

Так как корень не может быть отрицательным, то $$0 \le \sqrt{x+2} \le 5$$. Возведем в квадрат: $$0 \le x+2 \le 25$$; $$-2 \le x \le 23$$.

3) Если $$t > 5$$, то $$t+4 + t-5 = 9$$; $$2t - 1 = 9$$; $$2t = 10$$; $$t = 5$$. Это не удовлетворяет условию $$t > 5$$, поэтому здесь решений нет.

Итого, решение: $$-2 \le x \le 23$$.