Г-8 Контрольная работа №1 Вариант №1 1. ABCD - параллелограмм. ∠В + ∠D, ∠A + ∠C = 100°. Найдите угол B. 2. ABCD - прямоугольник. AC = 12 см, CD = 8 см. Найдите периметр треугольника AOB, где O – точка пересечения диагоналей. 3. Периметр ромба ABCD равен 24 см. ∠A=60°. Найдите среднюю линию MK треугольника ABD, где M ∈ AB, K ∈ AD. 4. В параллелограмме BCDE биссектриса угла B пересекает сторону DE в точке K, причем DK = 4. EK = 12. Найдите периметр параллелограмма.

1. В параллелограмме ABCD ∠B = ∠D и ∠A = ∠C. Сумма всех углов параллелограмма равна 360°. Из условия ∠A + ∠C = 100°, следовательно, ∠B + ∠D = 360° - 100° = 260°. Так как ∠B = ∠D, то ∠B = 260° div 2 = 130°. Ответ: ∠B = 130°. 2. ABCD - прямоугольник, значит, диагонали AC и BD равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, AO = BO = rac{1}{2}AC = rac{1}{2} cdot 12 = 6 см. Так как ABCD - прямоугольник, то ∠ADC = 90°. Значит, треугольник ADC - прямоугольный. По теореме Пифагора, AD = $$sqrt{AC^2 - CD^2} = sqrt{12^2 - 8^2} = sqrt{144 - 64} = sqrt{80} = 4sqrt{5}$$ см. Периметр треугольника AOB равен AO + BO + AB = 6 + 6 + 8 = 20 см. Ответ: 20 см. 3. Периметр ромба ABCD равен 24 см, значит, сторона ромба равна 24 div 4 = 6 см. Следовательно, AB = AD = 6 см. MK - средняя линия треугольника ABD, значит, MK = rac{1}{2}BD. Рассмотрим треугольник ABD. Так как ∠A = 60° и AB = AD, то треугольник ABD - равносторонний, следовательно, BD = AB = AD = 6 см. Значит, MK = rac{1}{2} cdot 6 = 3 см. Ответ: 3 см. 4. В параллелограмме BCDE DK = 4, EK = 12, значит, DE = DK + EK = 4 + 12 = 16. Так как BCDE - параллелограмм, то BC = DE = 16. Биссектриса угла B пересекает сторону DE в точке K, следовательно, ∠CBK = ∠EBK. Также ∠EBK = ∠BKE как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и DE и секущей BK. Значит, ∠CBK = ∠BKE, следовательно, треугольник BCK - равнобедренный, и BC = CK = 16. Тогда CD = CK - DK = 16 - 4 = 12. Периметр параллелограмма BCDE равен 2(BC + CD) = 2(16 + 12) = 2 cdot 28 = 56. Ответ: 56.